Ortskurve der Extrema (Oberstufe)


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Hallo zusammen, 

bei folgender Aufgabe (A 2.1) komme ich leider nicht auf eine passende Lösung.

Könnte mir hierbei bitte jemand helfen der mit diesem Thema vertraut ist? 

Vielen Dank und Grüße, 

Ralf 

Im Anschluss befindet sich die Lösung der Aufgabe. 

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
r
ralfw,
Punkte: 0
 
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2 Antworten
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Hallo,


ist dir das grundsätzliche vorgehen bei Ortskurven klar? Sonst empfehle ich folgende übersicht:


https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wendepunkt.html">https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wendepunkt.html


Hier musst du also erstmal die erste Ableitung bilden um mögliche Extrema zu bestimmen.


Dies geht wohl am schnellsten mit dem Quotientenkriterium und man erhält:


\( \frac{(-1 + x)^2 - a (1 + x^2)}{2 (-1 + x^2)^2} \)


Hier bestimmst du jetzt die Nullstellen, Achtung vor den Definitionslücken durch den Bruch!

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
i
ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 780
 
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1

Hallo,


wenn du nicht die richtige Lösung erhälst, ist es immer ratsam deine Versuche mit hochzuladen, um Missverständnisse zu klären.


Erstmal zur grundlegenden Vorgehensweise


Du musst zuerst die Extrema in Abhängigkeit des Parameters \( a \) bestimmen. Wir rechnen also


\( g_a'(x) = 0 \)


Zur Kontrolle du erhälst als Lösung


\( x_{1/2}= \frac {1 \pm \sqrt{(a-1)^2+1}} {(a-1)} \)


Nun müssen wir diese Lösung in \( g_a(x) \) einsetzen. 


Ab hier kann ich aber gut verstehen, das du keine vernünftige Lösung erhälst. Denn setzen wir unsere möglichen Extrema ein, so erhalten wir einen wirklich unschönen Ausdruck. Außerdem muss später noch der x-Wert der Extrema nach \( a \) umgestellt werden, was zusätzlich große Probleme verursachen sollte.
Liegt da auch dein Problem?


Woher ist diese Aufgabe? Bist du noch Schüler? Ich denke nicht das diese Aufgabe mit Abiturwissen zu lösen ist.


Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16693
 

Bis zu diesem Punkt bin ich auch ohne Probleme gekommen. Habe aber dann aufgehört, weil es mir zu kompliziert wurde. Die Aufgabe war Teil unserer Schulaufgabe und sollte innerhalb von 14 Minuten gelöst werden. Aktuell bin ich in der Berufsoberschule und schreib in ein paar Wochen die fachgebundene Hochschulreife.   -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ich werde mir gleich nochmal angucken, ob man etwas vereinfachen kann, das mir gerade nicht aufgefallen ist. Glaube ich allerdings nicht, da ich die Ableitung und Extrema mit einem Rechner überprüft habe und alleine den Ausdruck für \( x \) nach \( a \) umzustellen, wirkt für mich in dem Rahmen nicht lösbar.
Bei dem Ausdruck den ich gerade bekommen hatte, wäre ich auch zur nächsten Aufgabe übergegangen.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ich habe oben mal die Schulaufgabe unserer Klasse angeheftet. Die Aufgabe wurde so gestellt und ist auch zu 100% in die Bewertung mit ein geflossen. Leider waren die anderen Aufgaben auch nicht unbedingt viel einfacher. Ich habe es in der Arbeit bei den Ableitungen und Nullstellen belassen.   -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

@christianteam, vielen Danke schon mal.
Bist du mittlerweile auf ein Ergebnis gekommen?
  -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Tut mir Leid das die Antwort so spät kommt.
Ich habe nochmal etwas rumgerechnet und habe versucht wenigstens schon mal die x-Werte mit Schulwissen nach a aufzulösen. Allerdings kommen wir hier auch wieder auf eine quadratische Gleichung für a und erhalten so auch zwei Lösungen für a. Das finde ich alles doch sehr seltsam. Hier mal der Weg

\( x_{1/2} =\frac {1 \pm \sqrt{a^2 -2a +2}} {a-1} \\ \Rightarrow x_{1/2} (a-1) -1 = \pm \sqrt{a^2 -2a +2} \\ \Rightarrow ( x_{1/2} (a-1) -1)^2 = a^2 -2a +2 \)

Das kann man nun ausklammern und nach a sortieren, und erhält

\( a^2 + a \frac {-2x_{1/2} ^2 -2x_{1/2} +2} {x_{1/2} ^2 -1 } + \frac {x_{1/2} ^2 +2 x_{1/2} -1} {x_{1/2} ^2 -1} \)

Nun könnten wir hier wieder die p/q-Formel anwenden, aber ob uns das zum Ziel führt bezweifle ich irgendwie.
Gibt es nicht die Möglichkeit diese Aufgabe so gut es geht auszuarbeiten und den Lehrer zu fragen was da schief läuft? Er müsste ja die Lösungen bestizen. Würde mich tatsächlich auch sehr interessieren.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ich habe ihn heute auf die Aufgabe angesprochen und er wollte uns nächste Woche eine Lösung zukommen lassen. Wir sollten es vorher aber erstmal als Hausaufgabe lösen.   -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Alles klar. Vielleicht lerne ich hier auch noch was dazu. Würde ich mich sehr drüber freuen wenn du die Lösung hier hochladen würdest.
Tut mir Leid das ich dir dabei leider nicht wirklich weiterhelfen konnte.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ok, wir haben heute die Lösung zu dieser Aufgabe bekommen. Sie war auf jeden Fall möglich. Vielen Dank nochmal für deine Unterstützung Christian.   -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Sehr schade das genau der Schritt ausgelassen wurde den wir nicht hatten. Hätte mich interessiert wie die nach a aufgelöst haben.
Sehr gerne und sorry nochmal das es nicht ganz zielführend war.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Also es war so wie du oben geschrieben hast. Man musste hier mit der p/q Formel weiter verfahren.
Ich habe oben noch mal eine ausführlichere Lösung ergänzt. Jetzt ist es auch gut nachvollziehbar.
  -   ralfw, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche
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