Basis von Vektoren ergänzen


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(Aufgabenteil b))

In der Aufgabe sind 4 Vektoren gegeben. a1,a2,a3 sind eine Basis des Unterraums U.

Nun soll man a4 durch Vektoren aus a1,a2,a3 zu einer Basis von U ergänzen.

Mit welchem Verfahren macht man das? 

 

 

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
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louuu_9,
Student, Punkte: 10
 

Die Dimension des Vektorraums ist 4?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

achso genau , wir befinden uns im R4   -   louuu_9, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Wenn a1, a2 und a3 schon eine Basis von U sind, kannst du a4 als kombination der drei schreiben, aber zu einer Basis ergänzen musst du dann nichts mehr. Also wenn, dann können a1 bis a3 nur Teil der Basis sein, dann suchst du mit a4 einen dazu linear unabhängigen Vektor um eine Basis von U zu bestimmen, aber ohne die Dimensionen zu kennen und eine nähere Beschreibung von U kann ich leider nicht helfen.   -   ikeek, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

also die Vektoren a1 bis a4 sind schon gegeben:
a1: (1 0 1 0 ) a2: (0 1 1 1 ) a3: (1 2 3 4) a4: (3 -2 1 -2)
sorry für die Schreibweise, weiß nicht wie man die richtigen Klammern von Vektoren macht.
Dimension von U ist nicht gegeben, aber sollte dadurch, dasss a1,a2 und a3 die Basis sind dim3 sein.
  -   louuu_9, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Vielleicht müsstest du dann einmal den genauen Wortlaut der Aufgabe abschreiben oder oben in deinem Beitrag ein Foto von der Aufgabe hochladen. Sollst du a4 als Kombination von a1 bis a3 darstellen?   -   ikeek, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

hab ein Bild ergänzt.   -   louuu_9, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche
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1 Antwort
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Hallo,

steht das "Erz", in \( U := Erz(a_1 , a_2 , a_3 , a_4 ) \) für Erzeugendensystem?

Dann ist \( U \) der Vektorraum, der durch die Vektoren \( a_1, \ldots , a_4 \) erzeugt wird. Nun ist die Basis das kleinste Erzeugendensystem. 
Der Vektor \( a_4 \) soll Teil unserer Basis sein, also starten wir mit der Basis \( (a_4) \). 

Nun ergänzen wir unsere Basis durch einen Vektor von \( a_1 , a_2, a_3 \). Dieser Vektor muss linear unabhängig sein. Zum Beispiel \( a_1 \). 

Wir erhalten die Basis \( (a_1, a_4) \). Das ganze führen wir solange fort, solange wir linear unabhängige Vektoren finden. Wenn es keine mehr gibt, bist du fertig und erhälst deine Basis.

Grüße Christian 

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Vielen lieben Dank Christian! Jetzt habe ich die Aufgabenstellung auch endlich verstanden.   -   louuu_9, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Sehr gerne :)
Und damit keine Missverständnisse aufkommen, Die Vektoren müssen immer linear unabhängig zur Basis sein. Also darf beispielsweise der dritte nicht durch die ersten beiden erzeugt werden usw.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche
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