Beweis zur konvergenz von Integralen


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Hallo ich soll den obigen Beweis machen. Leider habe ich überhaupt keine Idee, wie ich das machen könnte 

 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
j
joline,
Student, Punkte: 40
 
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3 Antworten
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Dann nochmal von vorne etwas anders diesmal.

 

Wir nehmen an, dass \( \int\limits_{0}^\infty g(x) \) konvergiert und somit endlich ist.

Daraus folgt, da \[g(x) > 0\), dass auch \( \lim\limits_{x \to \infty}g(x) =0\).

 Wegen \( \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)} = M > 0\), daher muss auch \( \lim\limits_{x \to \infty}f(x) =0\) gelten.

Nun können  wir Hôpital anwenden, da \(G(x)=\int\limits_{0}^x g(t) dt\), gilt \(G\prime(x)=g(x).

Also in dem Fall auf \(f\) und \(g\), das liefert uns dann \(\lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{F(x)}{G(x)} = M > 0\).

 

(Normalerweise wendest du Hôpital auf die Ableitung an und weißt dann etwas über die normale Funktion. Hier wenden wir es aber nicht auf die Ableitung an, sondern auf die Ableitungen der Aufleitungen (also die normale Funktion), somit erfagren wir dann etwas über die Aufleitungen, bzw. die konvergenz der Integrale.)

 

Reicht das bis hier oder benötigst du weitere Hilfe?

Tut mir Leid wenn wir am Anfang etwas aneinander vorbei geredet haben.

 

s1k

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
s1k,
Student, Punkte: 225
 

okay jetzt habe ich es. Danke für deine Hilfe :)
  -   joline, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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Hallo Joline

Der Beweis ist gar nicht so kompliziert.

Du brauchst zwei Sachen

1) Da das Integral von \( g(x) \) konvergiert wissen wir, dass \( \lim_{x \to \infty} G(x) \) existiert und somit endlich ist.

2) Die Regel von l‘Hopital

 

Versuch es jetzt nochmal selber.

 

s1k

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
s1k,
Student, Punkte: 225
 

Danke schonmal für deine Antwort, aber leider hilft mir das noch nicht so ganz. Bei uns ist die Regel von l´Hospital so definiert, dass entweder f und g jeweils gegen 0 oder gegen unendlich gehen, was ich hier ja nicht gegeben habe. Uns müsste ich nicht noch beweisen, dass f und g diffbar sind, wenn ich den l´Hospital anwenden möchte? Bei unserm Satz dazu ist das nämlich die Vorraussetztung und ich wüsste nicht wie ich das hier zeigen sollte.   -   joline, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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Also als erstes nehmen wir an, dass \( \int\limits_{0}^\infty g(x) \) konvergiert und somit endlich ist.

Daraus können wir folgern, dass \( \lim\limits_{x \to \infty} g(x) \) gegen Null konvergiert, da andernfalls das Integral nicht konvergieren würde. D.h. \( \lim\limits_{x \to \infty}g(x) =0\).

Nun wissen wir aber auch, dass \( \lim\limits_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)} = M > 0\).

 

Und jetzt sollte was bei Hôpital klingeln.

 

 

Bei der Rückrichtung gleiches Spiel dann.

 

s1k

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
s1k,
Student, Punkte: 225
 

Ich habe oben in meiner Frage mal ein Bild eingefügt, wo steht wie wir den l´Hospital aufgeschrieben haben. Irgenwie sehe ich immer noch nicht wie mir da weiter hilft, da der Satz ja keine Auskunft über die Konvergenz von f gibt. Ich stelle mich gerade wahrscheinlich einfach nur doof an, aber ich komme nicht weiter.   -   joline, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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