Extremalproblem, Strecke


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Die Graphen von f(x)= 2x * e^{-1/2x^2} und g(x) = 1+ e^{-1/2x^2} schneiden von der senkrechten Geraden x = u eine Strecke heraus. Für welchen Wert von u ist die Länge dieser Strecke maximal bzw. minimal? Ich habe einen Ansatz bzw. auch ein Ergebnis, jedoch kommt mir das Ergebnis falsch vor. Mein Ansatz: d = p + q p = f(u) = 2u * e^{-1/2u^2} q = g(u) = 1+ e^{-1/2u^2} d(u) = 2u * e^{-1/2u^2} + 1+ e^{-1/2u^2} = (2u+1)* e^{-1/2u^2} d'(u) = (-2u^2-u+2) * e^{-1/2u^2} d'' (u) = (2u^3+u^2-6u-1) * e^{-1/2u^2} d'(u) = 0 x_{1} = 0,78077 x_{2} = -1,2807 d''(0,78077) = -3,039 Max d''(-1,2807) = 1,8158 Min Von der Zeichnung her passen diese Ergebnisse nicht. Das Ergebnis sagt, bei x= 0,78077 ist die Strecke maximal, auf dem Schaubild sieht das nicht richtig aus.

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
g
guest10,
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1 Antwort
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Hallo,

vor der Lösung fehlt ein Minus.

Du bildest die Differenzfunktion \(d(x)=g(x)-f(x) = -2 e^{-0.5 x^2} x + e^{-0.5 x^2} +1\)
(g(x) liegt oberhalb von f(x), ansonsten Betrag setzen)

Dort suchst du ein Maximum, also leitet du die Funktion ab und setzt sie gleich null.

\(d'(x)=0 \longrightarrow x_{1,2}=0.25\pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}\)

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt, dass sie Lösung mit dem "-" kleiner als null ist. Folglich liegt dort ein lok. Maximum vor:

\(d\left (0.25 -\frac{\sqrt{17}}{4}\right)\approx -2.88855\).

Dies stellt im Übrigen auch das globale Maximum dar.


Anmerkung: \(0.25 -\frac{\sqrt{17}}{4} \approx -0.78078\)

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
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