Dipolmoment einer Linienladung zweier Halbkreise


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Guten Morgen liebe Mathe-Community,

Ich habe leider gerade ziemlich an einer Aufgabe zu kauen, weshalb ich eure Hilfe benötige...

 

Es geht um das Dipolmoment einer Kreisladung mit dem Radius R vom Koordinatenursprung. Die eine Hälfte des Kreises ist mit der Ladungsdichte \( -\lambda \) , die andere mit \( \lambda \) besetzt. 

 

Nun soll ich erst a) das Dipoloment berechnen und b) anschließend in 3 Punkten das Potential:

P1 = (0,0,w)

P2 = (w,0,0)

P3= (0,w,0) 

mit w >> R.

 

Leider habe ich nichtmals einen Ansatz irgendwie, wie ich damit starten soll. Besonders die Berücksichtigung, dass die eine Hälfte negativ und die andere Hälfte positiv geladen ist, bereitet mir Kopfzerbrechen, da dadurch ja nicht die Komponenten in x,y-Richtung wegfallen...

 

Lediglich folgende Formel habe ich als Ansatz:

 \( \phi (r) = \frac{1}{4*\pi *\epsilon_{0}}* \int_{V} \lambda(r') \frac{1}{|r-r'|}dl \) 

 

Liebe Grüße

Theo

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
b
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich habe leider nicht viele physikalische Formeln vor Augen. Da dies hier auch ein Matheforum ist, weiß ich auch nicht ob sich jemand findet der die richtige Formel im Kopf hat. Aber ich will dir trotzdem versuchen zu helfen. :)

Zuerst einmal zu der Formel die du gepostet hast. Berechnet man damit nicht das Potential? Ist diese Formel so richtig? Da du als Grenzen ein Volumen angibst, aber nur über ein Linienelement integrierst. 

Auf Wikipedia finde ich folgende Formel für das elektrische Dipolmoment

\( \vec{p} = \int_V \rho (\vec{r}) \vec{r} d^3r \)

Wir müssen also erstmal die Ladungsdichte bestimmen. Nun eine kleine Verständnisfrage. 
Ist die Ladung auf dem Rand des Kreises? Also im Prinzip auf einem Ring? Oder auf einer Kreisscheibe?

Davon abhängig, haben wir dann eine Flächen- oder Linienladungsdichte. 

Ich persöhnlich vermute es ist ein Ring gemeint. (Die Linienladungsdichte, wird auch wie in deiner Aufgabe mit \( \lambda \) abgekürzt) 

Nun kann man das ganze mittels Delta-Distribution darstellen, indem wir sagen

\( \lambda (\vec{r}) = \lambda _0 \delta (r - R) \delta (\theta ) \)

Hattet ihr die Delta Distribution? Kannst du damit das Dipolmoment bestimmen? 

Für die b) können wir dann deine gepostete Formel verwenden. Dein \( r' \) ist der Ort an dem der Ring liegt. Somit ist \( r = w \)

Ich hoffe das hilft dir. Ansonsten melde dich gerne nochmal. Zusammen können wir die Aufgabe bestimmt lösen ;)

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Vielen lieben Dank für die ausführliche Hilfe.

Irgendwie habe ich gerade meine Antwort ausersehen gelöscht und leider nicht kopiert..

Genau es handelt sich um eine Linienladung \( \lambda \) , die in der "rechten Hälfte" positiv und in der "linken Hälfte" negativ ist.
Nun ergeben sich zwei Alternativen, wie ich die Linienladungstrennung des Kreises berücksichtige:

Den Kreis habe ich in Kugelkoordinaten parametrisiert als: (R*cos(t), R*sin(t), 0)

1)
\( \int_A^B \lambda r' dl = \int_A^B \lambda r' dl + \int_B^A -\lambda r' dl = 2* \int_A^B \lambda r' dl = 2 \pi r' R \lambda \)

Was irgendwie logisch wäre, da p = Q * r ist und dQ = \( \lambda * dl \)

oder 2)
die Grenzen von \( frac{3 \pi}{2} bis frac{\pi}{2} für \lambda \)
und \( frac{\pi}{2} bis frac{3 \pi}{2} für - \lambda \)
Punkt A= \( \frac{3\pi}{2} \)
Punkt B= \( \frac{pi}{2} \)
daraus folgt: p = \( 2* \int_A^B \lambda r' dl \) mit dem Einheitskreis (R*cos(t), R*sin(t), 0)
p = 4* \lambda r' R

Da bin ich mir leider noch unsicher, welcher Ansatz mathematisch gesehen richtig ist, weil mich die Trennung in pos. und neg. Ladung verwirrt...


Liebe Grüße und danke nochmal für die tolle Hilfe !
  -   biomedizintechnik17, kommentiert vor 5 Monate
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