Beweis konvergente Folge


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Hallo,

meine Inkompatibilität mit der Mathematik hält an. Diesmal Folgen. Folgen sind wie Reihen, nur dass die Glieder hier aufaddiert statt aufgezählt werden ?

Sei \( (a_n) \) eine Folge mit \(a_n \in\mathbb{Z} \) für alle \( n\in\mathbb{N} \). Beweisen Sie, dass \( (a_n) \) genau dann gegen \( a \) konvergent ist, wenn es einen Index \( n_0 \) so gibt, dass \( a_n=a \) für alle \( n\geq n_0 \) ist.

 

Da habe ich schon so meine Probleme das zu lesen. Die Folgeglieder sind aus den ganzen Zahlen, OK. aber soll das mit n aus den natürlichen Zahlen ? Das ist doch der Index, der muss doch aus den natürlichen Zahlen sein. Oder gibt es ein \( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)-tes Folgeglied ?

So wie ich das sehe ist das alles andere als konvergent. Für mich ist die Folge dann:

\( (a_n)=\sum\limits^{n}_{n_0}a+\sum\limits^{n_0-1}_{1}a_n=(n-n_0)a+\sum\limits^{n_0-1}_{1}a_n \)

Das ist aber alles andere als a, außer für einen Sonderfall. 

 

gefragt vor 4 Monate
s
stehgold,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Nein da bringst du etwas ganz durcheinander.

Reihen sind die wo man aufaddiert.

Folgen sind einfach nur eine Folge von Zahlen.

Dabei hast du recht, gibt es im Allgemeinen nur natürliche Folgeglieder.

z.B.  \(a_0=0, a_1=1, a_2=2 ... a_n=n \) ist die Folge der natürlichen Zahlen.

Zu deiner Aufgabe: Diese Folge konvergiert natürlich nicht, denn je höher n ist, desto höher auch das \(a_n\)-te Folgenglied (weil es in meinem Beispiel genau das gleiche ist).

 

Anders ist es bei \(a_n = 1/n \) also \(a_1=1, a_2= 1/2, a_3=1/3 \) hier geht man davon aus, dass ein Folgenglied irgendwann gegen 0 konvergiert, da die zahl ja offensichtlich immer kleiner wird.

Bei Wikipedia gibt es einen relativ ausführlichen Artikel dazu

https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

 

geantwortet vor 4 Monate
i
ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 780
 

Aha, das ist dann die Aufzählung. Doch, dann ist die konvergent gegen a. Es heißt ja für alle \( n\geq n_0 \) sind alle \( a_n=a \). Ich weiß jetzt nur nicht was man da dann noch zeigen soll. Ich meine, das ist da so offensichtlich, dass sogar ich es sehe.   -   stehgold, kommentiert vor 4 Monate
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