Parametrisieren eines Dreiecks


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Guten Tag, ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und komme trotz Recherche nicht mehr weiter.

Die Aufgabe ist:

Berechnen Sie jeweils das Kurvenintegral

\(int_\gamma\)<F, dx> für die folgenden Felder F und Kurven γ:


F(x,y) = (x + y^2, y + 1) , γ sei der (links herum durchlaufene) Rand des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,0), (2,0) und (1,1).
Ich habe leider ein Problem beim Parametrisieren des Dreiecks.

Ich habe mir schon Videos auf YouTube angeschaut verstehe aber nicht wirklich wie so eine Parametrisierung funktioniert.

Trotzdem, mit allem was ich gesehen habe wäre mein Ansatz alle Seiten wie in der Vektorgeometrie einzeln zu Parametrisierien. Allerdings kommt man so auf keine Darstellung zum Rechnen und ich hätte dann, weil ein Dreieck drei Seiten hat ein 3-Tupel, insbesondere bildete γ dann auf R^3 ab, dann könnte ich das Kurvenintegral aber nicht bestimmen.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

 

gefragt vor 5 Monate
s
sorbitwiezuckerersatz,
Student, Punkte: 34
 
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2 Antworten
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Hallo,

bei einem Dreieck werden die Seiten einzeln parametrisiert, wie eine Gerade

\( \overline{P_1 P_2 } = \vec{P_1} + t ( \vec{P_2} - \vec{P_1} ) \ t \in [0,1] \) 

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo Christian, vielen Dank für deine Antwort. Mir bleibt noch die Frage, habe ich dann nicht nur 2 Punkte miteinander Verbunden? Oder muss ich das für alle machen? Falls ja, wie kann ich das dann in eine Form bekommen, mit der ich das Kurvenintegral berechnen kann, also so ein 2-Tupel.
Ich hätte dann ja nämlich:
\( \overline{P_1 P_2 } = \vec{P_1} + t ( \vec{P_2} - \vec{P_1} ), \ t \in [0,1] \)
\( \overline{P_2 P_3 } = \vec{P_2} + t ( \vec{P_3} - \vec{P_2} ), \ t \in [0,1] \)
\( \overline{P_1 P_3 } = \vec{P_1} + t ( \vec{P_3} - \vec{P_1} ), \ t \in [0,1] \)
Das wäre doch aber ein Element aus R^3 oder nicht?
  -   sorbitwiezuckerersatz, kommentiert vor 5 Monate
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Das musst du mit allen 3 Seiten machen. Wie du es beschrieben hast. 

Nein als Beispiel

\( \overline{ P_1 P_2 } = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 2  \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2t \\ 0 \end{pmatrix} \)

Also ist \( \overline{ P_1 P_2 } \in \mathbb{R}^2 \)

Das ist die Kurve die die Seite vom Punkt (0|0) bis zum Punkt (2|0) beschreibt. Das machst du dann mit allen Seiten, bekommst also 3 Integrale. Die Summe ist dann deine Lösung.

Grüße Christian  

geantwortet vor 5 Monate
christian strack, verified
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