Wirtschaftsmathe


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Kann bitte jemand schnell wie möglich diese Aufgabe hier vorrechnen? Habs versucht, aber bekomme nie das richtige Ergebnis.

Die Kostenfunktion K für die Monatsproduktion eines Unternehmens ist gegeben durch K(x)=x^3-12x^2+60x+100 für x (0,12)

Zeige, dass K streng monoton steigend ist

Für welche produktionsmenge steigen die Kosten progressiv und bei welcher Produktionsmenge hat man die geringsten Grenzkosten?

 

gefragt vor 4 Monate
a
anonym,
Punkte: 9
 
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2 Antworten
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Hallo,

Monotonie: 

\(K'(x)=0 \Rightarrow L=\emptyset\)

Da \(\lim\limits_{x\to \infty}K(x)=\infty\) bzw. \(K'(a) > 0\;\; (a\in \mathbb{R})\) gegeben ist, ist \(K\) auf \(]0;12[\) streng monoton wachsend.


Geringste Grenzkosten:

\(K^{(2)}(x)=0 \rightarrow x_1=4 \longrightarrow K^{(3)}(4) > 0\), somit liegt bei \(x=4\) ein Grenzkostenminimum vor. 

Progressive Kosten:

Wir wissen bereits, dass bei \(x=4\) eine Wendestelle für \(K(x)\) existiert.

Da außerdem \(K^{(3)}(4) > 0\) gilt, existiert ein rechts-links-WP.  Somit sind die Kosten auf \(]4;12[\) progressiv.

geantwortet vor 4 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12501
 

Ich versteh das mit lim nicht so   -   anonym, kommentiert vor 4 Monate

Weil der Grenzwert für x gegen Unendlich gleich Unendlich ist, müssen die Funktionswerte immer größer werden. Damit lässt sich zeigen, dass die Funktion monoton steigt und nicht wie z.B. für - Unendlich fällt.

\(K^{(n)}\) ist die n-te Ableitung von K.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate

aber ich versteh immer noch nicht warum bei 4 ein minimum vorliegt   -   anonym, kommentiert vor 4 Monate

Erste Ableitung der Kostenfunktion ist die Grenzkostenfunktion. Diese soll minimiert werden, also suchen wir ein Extremum. -> GKF ableiten. Dies entspricht der 2. Ableitung von K(x).   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate

okay, vielen vielen Dank!   -   anonym, kommentiert vor 4 Monate
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K ist streng monoton steigend, wenn K'(x) zwischen 0 und 12 nicht negativ oder 0 ist.

\( K'(x)=3x^2-24x+60 \)

Berechne hierfür die Nullstellen \(K'(x)=0 \)

\( x^2-8x+20=0 \)

Hier stellen wir fest, das nach pq Formel K'(x) keine Nullstellen hat, jetzt setzt du noch ein x ein, z.B. x=0 und erhalte \( 0^2-8*0+20=20 \) also ist die Steigung positiv, die Funktion also streng monoton steigend.

geantwortet vor 4 Monate
i
ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 780
 

Der Koeffizient des linearen Glieds der Ableitung ist fehlerhaft.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate
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