Integrieren mit Polarkoordinaten


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Hallo

Wie muss ich hier genau vorgehen? Ich habe versucht Infos vom Skript zu benutzen aber ich versteh nicht ganz wie ich die Transformation machen muss. Das Integrieren selber sollte ja dann gehen.

Für mich sieht das so aus als müsste man was substituieren, ist das korrekt?

Vielen Dank für eure Unterstützung

LG 

Wizz

 

Edit :

 

gefragt vor 4 Monate
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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4 Antworten
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Ja das mit der Reihenfolge ist wirklich nicht leicht. Wie gesagt mit die beste Merkregel ist das du keine Integrationskonstante durch die Grenzen einführst, über die du bereits integriert hast. 

Ansonsten stelle dir vor wie das Gebilde gebastelt wird. Dafür überlegst du hier was wovon abhängt. Wir drehen uns einmal im Kreis. Dabei variiert je nach Winkel der Radius. Also steht der Radius in Abhängigkeit des Winkels und wir integrieren zuerst über den Radius. 

Die Grenzen des Radius stehen oben auch wenn es dieses mal kompliziert aussieht. Du erhälst das Integral

\( \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{4(\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi))}} r \ dr d\varphi \)

Achja und der Radius ist definiert für \( r \in \mathbb{R}_{\geq 0} \) du hast also niemals negative Integralgrenzen. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Vielen Dank :)
Müsste ich aber nicht zuerst von 0 - Pi / 4 integrieren? Und dann *4 rechnen?
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate

Beim Winkel? Von Null bis \( 2\pi \) bedeutet für einen Winkel einmal im Kreis.   -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate
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Hallo,

Polarkoordinaten nutzen zur Bestimmung jedes Punktes einen Winkel und einen Radius. 

Es gelten folgende Zusammenhänge:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2 } \)

Der Winkel ist in jedem Quadranten unterschiedlich definiert. Das kannst du dir am besten einmal auf Wikipedia angucken.

Nun müssen natürlich auch die Differentiale transformieren. Dafür tauschen wir die Differentiale aus und multiplizieren das ganze noch mit der Determinanten der Jacobi Matrix. 
In Polarkoordinaten bedeutet das

\( \int \int f(x,y) dxdy = \int \int f(r, \varphi ) r dr d\varphi \)

Hilft dir das schon?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe es versucht mit deinen Tipps und mit den Notizen aus der Vorlesung verstehen zu können, aber ich weiss nicht wie ich auf das Integral komme... Im Wikipedia link habe ich gesehen, dass für den ersten Quadranten gilt, dass der Winkel durch arctan(y / x ) + pi gilt.
Und da ich mich im ersten Quadranten befinde muss ich folglich von 0-pi integrieren und den Streckungsfaktor (Jacobi-Determinante) berücksichten.

Aber wie muss ich da konkret vorgehen? Wie kriege ich das zusammen mit der vorgegebenen Funktion und wie komme ich auf die Jacobi-Determinante?

Sorry, dass ich hier so grosse Mühe habe!
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate
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Ich mache es dir mal bei deiner ersten Aufgabe vor.

Wir haben das Integral

\( \int_S \ln(1+x^2+y^2) d^2(x,y) \)

Nun transformieren wir in Polarkoordinaten. Wir führen also die Variablen \( (r,\varphi) \) ein und erhalten erstmal

\( \ln(1+x^2+y^2) \to \ln(1+r^2) \)

Ich hatte ja geschrieben, das \( r^2 = x^2 + y^2 \). Die eigentlich Transformation ist aber

\( x= r \cos (\varphi) \\ y = r \sin (\varphi) \)

Du setzt also für alle \( x \) und \( y \) den obigen Zusammenhang ein.

So nun haben wir unsere Funktion transformiert. Als nächstes transformieren wir unser Flächenelement \( dxdy \). 
Dafür brauchen wir wie gesagt die Determinante der Jacobi-Matrix. Die Jacobi Matrix, hängt von der Wahl der Koordinaten ab. In Polarkoordinaten erhalten wir immer 

\( det \ J = r \)

In Kugelkoordinaten wäre das beispielsweise

\( det \ J = r^2 \sin (\Theta) \)

So nun erhalten wir also als Flächenelement

\( dxdy \to r \ drd\varphi \)

Wir erhalten also das Integral

\( \int_S \ln(1 + x^2 + y^2 ) \ dxdy = \int_S \ln(1+r^2) \cdot r \ dr d\varphi \)

Nun müssen wir noch unser \( S \) in Polarkoordinaten darstellen. \( S \) ist der Durchschnitt der Einheitskreisscheibe (Radius 1) und dem oberen rechten Quadranten (also der erste Quadrant).

Nun müssen wir also den Radius von Null bis Eins laufen lassen. Den Winkel von 0° bis 90° ( \( 0 \) bis \( \frac {\pi} 2 \)). Wir erhalten also das Integral

\( \int_0^{\frac {\pi} 2} \int_0^1 \ln(1+r^2) \cdot r \ dr d\varphi \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Super vielen Dank es ist mir nun um einiges klarer geworden, ich werde gleich noch versuchen die zweite Aufgabe zu lösen. Könntest du vielleicht noch mein Endergebnis nachprüfen?

Ok leider ist die zweite Teilaufgabe ein Sprung komplizierter. : - /
Muss ich dort mit Substitution arbeiten? Ich habe mir den Graphen plotten lassen und habe mir das zuerst vollkommen falsch vorgestellt.
Ich dachte, dass dieses Acht aus 4 Kreisen besteht mit einem inneren und einem äusseren Kreis aber es sind ja nur 2 "nicht ganz schöne" kreise, welche symmetrisch sind.

Für x^2 + y^2 kann ich ja wieder r^2 einsetzen. Aber was mache ich mit x^2 - y^2?
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate


Ah sorry du hast ja gesagt x = r * cos(x) und y = r * sin(x). Ich probiere nochmals weiter.
Habe meinen Ansatz mal oben hinzugefügt.
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate
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Die a) stimmt soweit schon mal. Bei der b) hast du bis dahin auch alles richtig. 

Nun hängen die beiden Koordinaten voneinander ab. Der Winkel geht auf jeden Fall von \( 0 \) bis \( 2\pi \), da wir jeden Quadranten betrachten. Der Radius variiert je nachdem welchen Winkel wir haben, mit der Beziehung

\( r^2 = 4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) ) \)

Also geht der Radius von \( 0 \) bis \( r^2 = 4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) ) \) bzw \( r= \sqrt{4( \cos^2(\varphi) - \sin^2(\varphi) )} \)

Welches Integral musst du somit zuerst bestimmen?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
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Muss das Integral von -r bis r gehen?   -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate

Genau da habe ich eben noch Probleme, zu sehen, welches Integral zuerst bestimmt werden muss.   -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate
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