Zylinderkoordinaten, Transformation, Volumenberechnung


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Guten Abend

Ich habe wieder eine ähnliche Aufgabe bezüglich Volumenberechnung mit mehrfachen Integralen:

Leider ist mir (noch immer) die Vorgehensweise nicht ganz klar.

Ich denke bei der (a) habe ich die richtige Vermutung und würde gerne nachfragen:

a) z ist hier Abhängig von x und y, deshalb würde ich folglich zuerst über x und y integrieren und dann am schluss über z. 

b) Hier würde ich genau gleich vorgehen, da auch hier z von x und y abhängt.

Ist die denkweise richtig?

Danke für eure Unterstützung :)

LG Wizz

 

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 
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2 Antworten
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Wie bereits in der anderen Frage gesagt ist es wirklich nicht leicht sich das immer richtig vorzustellen. Nicht verzagen. Mit Übung wird es leichter :)


Wir stellen uns wieder vor wie das Gebilde gebaut wird. Wie im Prinzip von Cavalerie können wir hier die verschiedenen Schnittflächen bestimmen die abhängig von der Höhe sind. Diese "schichten" wir dann übereinander durch das integrieren über die Höhe. 


Also bilden die inneren Integrale die Schnittflächen und das letzte Integral ist die Höhe. Also


\( \int_0 \int_0^{2\pi} \int^2 r^3 \ dr d\varphi dz \) 


Kommst du auf die fehlenden Grenzen?


Für die Höhe. Für welches \( z \) treffen sich \( x^2 +y^2 = 4 \) und \( x^2 + y^2 = z \)?


Für den Radius nutze deine Abhängigkeiten.


b) verläuft dann analog.


Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16463
 

Vielen Dank für den Tipp.
Ich habe meine Lösung gepostet, stimmt das auch so?
  -   wizzlah, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Die Zweite Lösung habe ich dann auch gerade noch. Hoffentlich stimmt die auch. Ich verstehe zwra leider noch immer nicht genau wie das zustande kommt. Ich werde mich nochmals mit dem auseinandersetzen.
Auf jeden Fall vielen Dank!
  -   wizzlah, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Einen Form Fehler hast du gemacht. Du rechnest es zwar richtig, aber in der b) hast du dz und \( d\varphi \) vertauscht. Also nur in der schreibweise. Du rechnest es richtig herum.
Ansonsten ist alles richtig :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen
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Hallo,


wir sollen das ganze in Zylinderkoordinaten integrieren. Das bedeutet wir haben die Koordinaten Radius Winkel und Höhe. Zuerst transformieren wir und erhalten


\(f(x,y,z)= x^2 +y^2 \to f(r, \varphi , z)=  r^2 \)


Dann transformieren wir die Grenzen


\( x^2 + y^2 = 4 \to r^2 = 4 \\ x^2 + y^2 = z \to r^2 = z \)


Nun überlegen wir uns die Grenzen unserer Variablen.


Wir basteln uns zuerst die Grundebene.
\( \varphi \) geht wieder von 0 bis \( 2 \pi \), da unsere Figur in allen Quadranten ist.
Unser Radius ist von der Höhe abhängig. Wie sehen die Grenzen unseres Radius aus?
Nun ziehen wir (wie bei der Cavalerie Aufgabe) Schicht für Schicht unsern Körper in die Höhe. Wir fangen bei der Höhe in der x-y Ebene an. Das bedeutet unsere untere Grenze ist Null. Auf welcher Höhe schneiden sich der Zylinder und der Paraboloid?


Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16463
 

Hallo Christian

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich verstehe den Ansatz zwar schon immer aber es will mir einfach nicht einleuchten wie ich auf das Integral komme. Ich kann es mir nicht wirklich vorstellen. Grundsätzlich ist es mir klar, dass ich ja ein Volumen zu bestimmen habe und folglich zuerst die Grundfläche bestimme und dann die Höhe, um dann eben das Volumen zu erhalten.

Ich habe es mal versucht, das Integral aufzustellen, aber bin mir sehr unsicher, weil es für mich irgendwie keinen Sinn ergibt.(siehe Frage) :- /

Dabei habe ich mich nach deiner Erklärung versucht zu richten und habe zuerst angefangen über den Winkel, dann über den Radius und zum Schluss über die Höhe zu integrieren. Stimmt das so?

Nochmals vielen Dank :-)

  -   wizzlah, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Ebenfalls bei der zweiten Teilaufgabe. Ich weiss zwar, dass es jetzt nicht mehr ein Zylinder, sondern ein Kegel ist und sich der Radius mit Zunahme von der Höhe verändert, wodurch die einzelnen Teilflächen anders sind.

Aber auch hier ist es mir nicht klar, wie ich auf das Integral kommen soll. Es tut mir wirklich Leid, dass es hier so hapert. Die Beispiele aus der Vorlesung waren leider wieder mal wirklich sehr schlecht, wenn man neu mit dem Thema konfrontiert wird.

Es ist mir ja eigentlich klar worum es geht.. nur auf das richtige Integral zu kommen, das ist mein Problem.
  -   wizzlah, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen
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