Folge der Fibonacci-Zahlen


0

Hallo,

bei folgender Aufgabe fehlt mir leider ein Ansatz. Ich kann mir unter dem Verlangten noch überhaupt nichts vorstellen. Ich hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen!

Vielen Dank!

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
4 Antworten
0

Jap genau. Es gilt

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} \)

Nun gilt für eine Teleskopsumme

\( \sum_n^{\infty} (a_{n} - a_{n+1}) \)

Wenn du dir die beiden Summen nun anguckst, setzen wir

\( a_n = \frac 1 {f_n f_{n+1}} \) 

Nun setze da doch mal anstatt \( n \) ein \( n+1 \) ein. Du musst deinen Subtrahenden dafür erhalten. 

Wenn es dir immer noch nicht ganz klar ist, dann schreib es mal aus

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} = (\frac 1 {f_1 f_2} - \frac 1 {f_2 f_3} ) + ( \frac 1 {f_2 f_3} - \frac 1 {f_3 f_4} ) + ( \frac 1 {f_3 f_4} - \frac 1 {f_4 f_5} ) + \ldots \)

Das können wir umschreiben zu

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {f_n f_{n+1}} - \frac 1 {f_{n+1} f_{n+2}} = \frac 1 {f_1 f_2} + (- \frac 1 {f_2 f_3}  +  \frac 1 {f_2 f_3} ) + ( - \frac 1 {f_3 f_4}  +  \frac 1 {f_3 f_4}) +  \ldots \)

Grüße Christian

 

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 


Stimmt! Jetzt, wo ich es sehe, ist es völlig klar. Vielen Dank! :)An der b) habe ich auch schon ein wenig geknobelt, sie soll ja scheinbar ähnlich funktionieren.Wie bist du bei der a) darauf gekommen mit f_n+1*f_n+1 zu erweitern? Mit derselben Taktik müsste ich doch bei der b) auch etwas finden?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Hallo,

erweitere den Bruch mal mit \( (f_{n+1} f_{n+1}) \) zu

\( \frac {f_{n+1} f_{n+1} } {f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+2}} \)

Nun überlege dir wie du den Zähler zu einer Differenz umformen kannst, damit du daraus den Bruch in die Form einer Teleskopsumme bringen kannst.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Vielen Dank! Ich habe den Bruch erweitert und eine Seite herumgerechnet, bin aber leider noch nicht auf den entscheidenden Gedanken gekommen. Ich habe f_n+1 mal durch die ursprüngliche Definition ersetzt, mal durch f_n+2 - f_n, weil hier immerhin schon einmal eine Differenz in Erscheinung tritt.
Aber wirklich schlau geworden bin ich noch nicht.
Kannst du mir vielleicht einen Tritt in die richtige Richtung geben? ;) Vielen Dank!
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Das ist genau der richtige Gedanke. Allerdings ersetzt du nur ein \( f_{n+1} \) im Zähler durch \( f_{n+2} - f_n \)

\( \frac {f_{n+1} (f_{n+2} - f_n)} {(f_nf_{n+1})(f_{n+1} f_{n+2} ) } \)

Habe den Nenner auch schon mal etwas sortiert. Fällt es dir jetzt auf?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Ist das Ergebnis

(1/(f_n * f_n+1)) - (1/(f_n+1 * f_n+2))

das korrekte? Falls ja - ist das dann schon meine Teleskopsumme mit auslöschenden Elementen? Das verstehe ich noch nicht ganz.
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Ich muss ehrlich sagen durch rumprobieren. Man versucht eben diese Differenz zu erzeugen und die einzige sinnvolle Idee war über die Definiton.

Bei der b) ist es etwas anders. Die resultierende Form ist zwar auch eine Teleskopsumme von der Idee her, aber doch nicht ganz wenn man sich die Definiton anguckt. Aber fangen wir erstmal an ;)

Wir haben 

\( \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {n^2 + 5n + 4} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {(n+1)(n+4)} \)

Diesen Schritt habe ich gemacht, um wie bei der a) ein Produkt im Nenner zu erzeugen. Hier habe ich dann lange überlegt wie ich auf eine Differenz kommen könnte. Die richtige Lösung erhielt ich dann mittels Partialbruchzerlegung.

Probier es mal. Erkennst du hier die Teleskopsumme?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden