X=cos(x)


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Die Aufgabe bei einer Mathe-Klausur lautete "Beweise, dass x=cos(x) einen Schnittpunkt hat". Jetzt bin ich total neugierig und will die Aufgabe irgendwie lösen, doch es fehlt mir total an Ansätzen...

 

 

gefragt vor 4 Monate, 4 Wochen
d
donomar225,
Punkte: 10
 

Der Ansatz ist relativ simpel es sei f(x)=x
Und g(x) = cos(x) .
Wir wissen g(0) = 1 > 0 = f(x).
Da cos(x) also g(x) im intervall [0 pi/2] monoton fallend ist und g(pi/2) = 0
Und f(x) monoton steigend ist und f(pi/2)=pi/2 >0 folgt aus der Stetigkeit der beiden Funktionen dass es mindestens eine Schnittstelle im Intervall [0 pi/2] gibt.
  -   vulpes27, kommentiert vor 4 Monate, 4 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

als Ergänzung zu vulpes27.

Es kann nur ein Schnittpunkt vorliegen, da \(\cos(x)\) auf \(\mathbb{R}\) die Bildmenge \(-1\leq x \leq 1\) aufweist.

Für \(v(x)=x\) kann also nur für \(\{x\in \mathbb{R}\, \vert\, -1\leq x\leq 1\}\) ein SP mit dem Kosinus existieren. 
Ferner ist \(v(x)\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, der Kosinus hingegen ist nur auf \([-1;0]\). Da für diesen weiterhin \(\cos -\frac{\pi}{2}=0\) und \(\cos 0 =1\) gilt, kann im 3. Quadranten kein SP vorliegen, weil der Kosinus nie unterhalb der x-Achse verläuft bzw. diese schneidet. Für \(v(x)\) hingegen beschränken sich die Funktionswerte auf dem Intervall \([-1;0]\) auf nicht-positive Zahlen.
Es verbleibt lediglich der erste Qudrant. Hier gilt für den Kosinus, dass dieser auf \([0; 1]\) streng monoton fallend ist und bei \(x=\frac{\pi}{2}\) eine NS aufweist. 
Aufgrund der Stetigkeit beider Funktionen, der Def.- bzw. Bildmenge und der Injektivität des Kosinus auf \([0; 1]\) kann somit lediglich ein SP existieren.

geantwortet vor 4 Monate, 4 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 
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