Wie bestimmt man das totale differential im R^3 mithilfe von grenzwertbestimmung?


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gefragt vor 4 Monate, 4 Wochen
s
shirin@mathe,
Student, Punkte: 70
 
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2 Antworten
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Hallo,

es wäre nett wenn du deine Frage etwas ausführen könntest. 

Die Definition eines totalen Differentials für eine Funktion \( f(x,y,z) \) ist

\( df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy + \frac {\partial f} {\partial z} dz \) 

Die Grenzwertbildung passiert dann vermutlich in den partiellen Ableitungen?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hallo, vielen dank erst mal!

Also die partiellen Ableitungen habe ich schon gemacht, allerdings ohne Grenzwertbildung, und auch die Formel für das totale Differential ist mir bekannt, allerdings habe ich meine Schwierigkeiten mit dx, dy und dz. Mir ist klar, dass das jeweils x-x0 etc ist, aber wie komme ich überhaupt auf x0?

Die Aufgabenstellung lautet „Bestimmen Sie einen geeigneten Kandidaten für die lineare Abbildung Jf(a) (das totale Differential), indem Sie die relevanten Grenzwerte bestimmen.“

Vielleicht ist das auch alles gar nicht so schwer und ich lasse mich gerade einfach von der Aufgabenstellung verwirren.

Viele Grüße und danke noch ein mal :)
  -   shirin@mathe, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Hey,
hast du da schon eine Antwort zu gefunden und könntest sie teilen?
  -   edmund.gebert, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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Oh es tut mir sehr Leid die Antwort muss mir durch gegangen sein.

Wir können die Funktion \( df : h \to f(p+h) - f(p) \) linear approximieren mittels Taylor. 

Das bedeutet wir approximieren bis zur ersten Ordnung. Im mehrdimensionalen bedeutet das aber gerade

\( f(x_0) \approx f(x_0) + grad \ f(x_0) \cdot (x-x_0) \)

Mit 

\( grad \ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac {\partial f} {\partial x} \\ \frac {\partial f} {\partial y} \\ \frac {\partial f} {\partial z} \end{pmatrix} \)

Siehst du schon die Ähnlichkeit zum obigen Ausdruck?

Approximieren wir mal die Funktion \( f(p+h) \) um den Entwicklungspunkt \( p \)

\( f(p+h) \approx f(p) + grad \ f(p) (p+h-p) = f(p) + grad \ f(p) \cdot h \)

Für \( df \) gilt 

\( df = f(p+h ) - f(p) \)

Also erhalten wir

\( f(p+h) - f(p) \approx f(p) + grad \ f(p) \cdot h - f(p) = grad \ f(p) \cdot h \)

Nun ist \( h\) genau unsere Änderung

\( h =  \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \)

Also bekommen wir nach auflösen des Skalarproduktes

\( df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy + \frac {\partial f} {\partial z} dz \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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