Ist die Funktion auf dem Intervall ein kubischer Spline?


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Hallo,

ich bräuchte Hilfe zu folgender Aufgabe:

Auf dem Intervall [-2, 1] sei die Funktion \(f(x) = x^2*|x|\) gegeben. Ist f(x) bzgl. der folgenen Stützstellen ein kubischer Spline? 

a) (x0, x1, x2) = (-2, 0, 1)

b) (x0, x1, x2, x3) = (-2, -1, 0, 1)

b) (x0, x1, x2) = (-2, -1, 1)

Nun, damit die Funktion ein kubischer Spline ist, muss die Funktion auf dem Intervall zweimal stetig differenzierbar sein. Dies ist der Fall, was ich bereits zeigen konnte.

Doch was muss ich nun machen, um zu überprüfen, ob du funktion für die angegebenen Intervalle ein kubischer Spline ist?

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
m
mathebob42,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Hallo,

bei einem kubischen Spline wird zusätzlich gefordert, das die Teilfunktionen an den Stützstellen die selbe Steigung und Krümmung haben, also

\( s'_{[x_i -1, x_i]}(x_i) = s'_{[x_i, x_i +1]}(x_i) \\ s''_{[x_i -1, x_i]}(x_i) = s''_{[x_i, x_i +1]}(x_i) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Danke,

leider begreife ich nicht ganz, wie das in diesem Fall gehen soll. Wenn ich einen Spline aus mehreren Funktionen habe, ist mir klar, dass diese an den Stützstellen übereinstimmen müssen.
Doch hier habe ich lediglich eine Funktion, weshalb ich nun nicht weiß, was ich hier wie machen muss.
  -   mathebob42, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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Ach tut mir Leid du hast ja schon gezeigt das die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist. Damit ist das was ich geschrieben habe bereits gegeben.

Die Stützstellen erzeugen Intervalle. Wenn nun ein kubischer Spline gegeben ist, dann muss es ein kubisches Polynom geben mit dem wir das Teilintervall darstellen können.

Gucken wir uns die a) an.

Wir haben die Intervalle \( [-2,0] , [0,1] \). 

Auf dem Intervall \( [-2,0] \) können wir unsere Funktion \( f(x) = x^2 \cdot \vert x \vert \) durch das kubische Polynom \( f_{[-2,0]} (x)= -x^3 \). 

Für das andere Intervall gilt \( f_{[0,1]} (x)= x^3 \). 

Somit haben wir einen kubischen Spline vorliegen. Das musst du nun noch mit den anderen Stützpunkten machen.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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