Maximum und Minimum eines abgeschlossenen Balls bestimmen


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Hallo zusammen! Ich habe ein f:B1(0) \to R gegeben durch f(x,y,z) = xyz(1 - x^{2} - y^{2}- z^{2}). B1(0) ist ein abgeschlossener Ball mit dem Radius 1 um den Punkt 0 Element R^{3} bezüglich der euklidischen Metrik. Nun soll ich zeigen, dass es ein Min und ein Max gibt, die im Inneren des abgeschlossenen Balls liegen. Meine Idee war, dass ich zunächst partiell ableite und diese Funktionen dann =0 setze. Jedoch ist mir dann nicht klar ob die Ergebnisse im Inneren des Balls sind, bzw ich weiß nicht wie ich das machen würde. Ist mein Ansatz richtig oder habe ich vielleicht einen Denkfehler? Ich nehme jede Hilfe an ! Vielen Dank im Voraus !

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
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lisa@mathe,
Student, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Idee ist richtig. 

Du hast ja schon gesagt das \( B_1 (0) \) ein Ball um den Ursprung mit Radius eins ist. Nun kannst du dir jedes Lösungstripel \( (x_i,y_i,z_i ) \) als Vektor im \( \mathbb{R}^3 \) vorstellen. Diese Vektoren haben eine Länge vom Ursprung ausgehend. Die Länge bestimmen wir über den Betrag

\( \vert \begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i \end{pmatrix} \vert = \sqrt{x_i^2 + y_i^2 + z_i^2 } \)

Diese Länge darf nun nicht länger als Eins sein damit die Lösung im Ball liegt. 

Also bestimme die Lösungen deines aufgestellten Gleichungssystems und bestimme die Länge um zu überprüfen ob diese im Ball liegen. 

Achja die Lösungen die du durch den Gradienten bekommst sind nur die kritischen Punkte, das bedeutet wir wissen noch nicht ob Maxima, Minima oder Sattelpunkt vorliegt. 
Weißt du wie man die Art des kritischen Punktes überprüft?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Hallo,

vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort!

Wie bekomme ich denn mein Lösungstrippel ? Indem ich die abgeleiteten Gleichungen =0 setze und je nach der Variable, nach der ich auch abgeleitet habe ausflöse? Und die Lösungen dann als Vektor aufschreibe und die Länge bestimme ?

Wie ich die kritischen Punkte überprüfe weiß ich leider nicht.

Danke nochmal!
Viele Grüße
  -   lisa@mathe, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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