Aussagenlogische Tautologien & Vollständige Induktion


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Hallo liebe Mathe-Rockstars!

Wer kann mir bei der untenstehenden Uni-Aufgabe helfen? So einfach wie es geht, bitte, wenn es möglich ist :)

Betrachtet werden Aussagen der Form

α ⇒ α (1)

(α ⇒ α) ⇒ α (2)

((α ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α (3)

(((α ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α) ⇒ α (4)

Welche dieser Aussagen sind stets (das heißt fur jede mathematische Aussage: α) aussagenlogische Tautologien und wie kommen Sie zu dieser Schlussfolgerung? Verallgemeinern Sie Ihre Beobachtung auf Aussagen der entsprechenden Form mit n > 0 Vorkommen von α. Verwenden Sie dazu vollständige Induktion.

Herzlichen Dank

Eva

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
e
evatsigkana,
Student, Punkte: 50
 
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1 Antwort
1

Schau dir mal die  Wahrheitstabelle von der Implikation an 

a |b |a=>b

1   1    1

1   0    0

0   0    1

0   1   1

Betrachten wir mal (1)

da in dem Beispiel a=b gilt. Es steht nur a in der Formel, sind nur die erste und dritte Zeile relevant für diese Aufgabe. Da beide immer wahr ergeben, egal ob a wahr oder falsch ist, wird die Formel immer wahr => tautologie

Betrachten wir (2) 

wenn a wahr ist, dann ist die ganze Formel wahr, sollte a jedoch falsch sein, dann löst es sich wie folgt auf:

X entspricht a => a und das ist wahr , dann ist x => a falsch (2 Zeile in der Wahrheitstabelle), also ist die Aussage falsch, sprich keine Tautologie.

 

Nach dem gleichen Prinzip wird die dritte wahr und die vierte Formel falsch. 

Um die erste Frage abschließend zu beantworten: du kannst da alles mit Wahrheitstabellen begründen

 

Zur zweiten Frage:Verallgemeinern Sie Ihre Beobachtung auf Aussagen der entsprechenden Form mit n > 0 Vorkommen von α. Verwenden Sie dazu vollständige Induktion.

 

Das System das zu erkennen ist, ist das für n = 2k (k element N), sprich gerade , es keine Tautologie ist und für n= 2k+1 es eine Tautologie ist. 

Wie man das jetzt genau per vollständiger Induktion beweist, da mach ich mir morgen Gedanken drüber und melde mich nochmal.

Ich hoffe es war einigermaßen verständlich

 

 

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
n
nailu-jay12,
Student, Punkte: 50
 

Vielen vielen DANK für deine Mühe!

Du hast mir sehr geholfen :)

Schönen Gruß aus München
Eva
  -   evatsigkana, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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