Konvergenzradius


0

Hallo,

 

das mit dem Konvergenzradius habe ich noch nicht ganz verstanden.

Bei folgender Aufgabe habe ich mehr schlecht als recht versucht, die Aufgaben zu lösen.

 

Bei der (a) habe ich als Lösung 1/z mit der Eulerschen Formel. Ich habe aber das Gefühl, dass ich mich verrechnet habe. Stimmt das?

 

Bei der (b) habe ich mit Cauchy-Hadamard gerechnet und bin auf -4*z^4 gestoßen, was mir ebenfalls sehr wahrscheinlich falsch zu sein scheint.

 

Wie genau untersuche ich dann das Konvergenzverhalten am Rand? Setze ich meinen Radius in die Potenzreihe ein?

Vielen Dank für Antworten auf meine vielen Fragen!

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
3 Antworten
1

Hallo,

bei deinem Konvergenzradius sollte keine Abhängigkeit von \( z \) auftreten, da er ja beschreibt in welchem Bereich für \(z \) die Reihe konvergiert.

Für a) würde ich die Formel von Cauchy-Hadamard benutzen.

\( r= \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} \\ \Rightarrow r = \frac 1 {\limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ (1 + \frac 1 n )^{-n^2}}} = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} (1+ \frac 1 n ) ^{-n} } \)

Nun wollen wir wissen, was der größte Häufungspunkt von \( (1+ \frac 1 n )^-n \) ist. Diese Folge konvergiert sogar und ist eine der berühmtesten Folgen. Kennst du den Grenzwert? 

Zur b) 

Für den Konvergenzradius brauchen wir eine Reihe der Form 

\( \sum_{k=1} a_k z^k \). 

Wir müssen also unsere Folge \( a_n \) so anpassen, das wir \( z^k \) erhalten. 

Man nennt eine Reihe Lückenreihe. wenn in unsere Reihe unendliche viele Summanden Null sind. Das haben wir auch, da 

\( \sum_{n=1} \frac {(-4)^n} {n} z^{4n} = 0 z^1 + 0 z^2 + 0 z^3 + \frac {-4} 1 z^4 + 0 z^5 + 0 z^6 + 0 z^7 + \frac {(-4)^2} 2 z^8 + 0 z^9 + \ldots \)

Das liegt an dem Exponenten von \( z \). Nun basteln wir eine neue Folge 

\( a_k = \left\{ \begin{matrix} \frac {(-4)^{\frac k 4}} {\frac k 4 } \ , \ \text{für } k =4n , \text{mit } n \in \mathbb{N} \\ 0 \ , \ \text{sonst} \end{matrix} \right. \)

Nun haben wir eine Reihe der Form \( \sum_{k=4}^{\infty} a_k z^k \) die äquivalent ist zu unserer ersten. 

Kannst du von der Folge nun die Häufungspunkte bestimmen?

Diesen Gedanken können wir aber auch in der Formel von Cauchy-Hadamard direkt darstellen.

Normalerweise ziehen wir in der Formel die n-te Wurzel. Nun ziehen wir einfach die 4n-te Wurzel, also

\( r = \frac 1 {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[4n]{\vert a_n \vert} } \)

Genau um die Konvergenz auf dem Rand zu überprüfen, musst du den Rand einsetzen und einzelnd nochmal überprüfen.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Guten Nachmittag,

vielen Dank für die ausführlichen Antworten!

Bei der (a) ist der Rand dann 1/e oder e? Ich bin eher für 1/e, aber wegen ersterer Antwort etwas verwirrt.Wenn ich 1/e in die Reihe einsetze, ergibt sich, dass die Reihe divergiert. (n+1/(n^3 * e^n)) ist da mein Ergebnis für die Reihe. Kann das stimmen?

Bei der (b) scheitere ich an der Berechnung des limes superior .Wie genau setze ich da a_n ein mit der Aufteilung, die du oben gemacht hast?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

 

Die a) ist mit Cauchy-Hadamard lösbar:

r=limsup(abs(a_n)^(-1/n))

a_n = (1+1/n)^(-n^2)

r=limsup(abs((1+1/n)^(-n^2))^(-1/n))

=limsup(abs((1+1/n)^n)))

=limsup((1+1/n)^n)

=lim((1+1/n)^n) = e

Den Betrag (abs) kan  man ignorieren, da der Term für jedes n größer als Null ist.

 

 

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
h
holly,
Student, Punkte: 95
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Oh ich habe das Minus übersehen bei der a). Ich habe es in meinem letzten Post editiert. Dadurch erhalten wir \( r= e \).

Zur b)

einen Häufungspunkt haben wir durch die Aufteilung sofort gefunden. Nämlich die Null. Nun gucken wir uns 

\( \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\vert \frac {(-4)^{\frac k 4}} {\frac k 4} \vert } = \limsup_{k \to \infty} \vert \frac {(-4)^{\frac 1 4}} {(\frac k 4)^{\frac 1 {k}}} \vert = \limsup_{k \to \infty} \vert \frac {\sqrt[4]{-4}} {\sqrt[k]{\frac k 4}} \vert \)

Kommst du von hier weiter?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Leider verstehe ich das noch nicht ganz. Wieso habe ich unten hoch 1/4k, wenn die k-te Wurzel gezogen wird? Wie gehe ich mit der 4-ten Wurzel aus -4 um? Muss ich komplexe Zahlen verwenden?   -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Ich bin hier von der neuen Folge akak a_k ausgegangen. Die habe ich ja in meinem letzten Post definiert.
Du kannst auch alternativ
\( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[4n]{\vert \frac {(-4)^n} {n} \vert } \)
rechnen. Kommst dann auf den selben Radius. Du musst nur berücksichtigen, das Null bereits ein Häufungspunkt ist.

Ja genau du musst dann komplex weiter rechnen. Durch den Betrag wird der Radius wieder reell.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
Kommentar schreiben Diese Antwort melden