2.Mittelwertsatz (Markoff-Ketten)


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Ich soll den 2.Mittelwertsatz herleiten. Dabei finde ich es schwierig zu erklären, wo die 1+ herkommt.

m=1+ m1×u...

Eigentlich beginnt das Problem ja eher, nämlich wenn ich die Gleichungen für m1, m2 etc aufstelle. Dort schreibe ich ja immer die betreffende WK, dann setzte ich die Klammer, und dann kommt (1+und jeweils die Variable m des benachbarten Zustandes). Könnte ich es so erklären, dass ich erst einen Schritt zum Nachbarn gehen muss und es von dort aus dann noch m-Schritte braucht, um zum Endzustand zu kommen? 

Schwierig auszudrücken, hoffe auf Hilfe...

Vielen Dank

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
p
pikachu,
Schüler, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

wir wollen wissen wie viele Schritte wir im Mittel von dem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) benötigen. Diese nennen wir \( m_{ij} \).
Die Wahrscheinlichkeit von einem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) zu gelangen, ist \( p_{ij} \). Nun haben wir aber auch die Möglichkeit in einen anderen benachbarten Zustand \( k \neq i \) zu gelangen. Da wir dann im Zustand \( k \) sind haben wir vom Zustand \( j \) bereits einen Schritt gemacht und brauchen von da dann noch \( m_{ik} \) (Die mittlere Anzahl an Schritten vom Zustand \( k \) in den Zustand \( j \)) weitere Schritte. Also insgesammt\( (1+ m_{ik}  ) \) Schritte. 
Diese Möglichkeit passiert mit der Wahrscheinlichkeit \( p_{kj} \)

Dies zusammen ergibt 

\( m_{ij} = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} (1+ m_{ik} ) = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)

Nun gilt aber

\( p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} = \sum_k p_{kj} = 1 \)

denn die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%=1.

Also erhalten wir

\( m_{ij} = 1 + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)

Beziehen wir das nun auf einen Randpunkt, so gilt die selbe Überlegung. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Tausend Dank, das hat mir sehr geholfen!   -   pikachu, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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