LGS mit Matrize lösen, lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit prüfen


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Heyho, ich komme bei dem LGS der 3 Vektoren einfach nicht auf die Lösung (0 0 20/ 0).

In folgendem Video soll festgestellt werden, ob die 3 Vektoren linear abnhängig oder unabhängig sind. Wenn ich das LGS versuche zu lösen kommt bei mir bei der Matrize allerdings (0 0 -19/2 /0) heraus und ich finde meinen Fehler einfach nicht...

Hier sonst einmal der Link zum Video für die Aufgabe: https://www.youtube.com/watch?v=qBQeFSnLOVA

So sieht meine gelöste Matrize aus. 

(2    -1     2      / 0)

(0   2,5    3       /0)

(0     0  -19/2   /0)

Zudem sehe ich nicht ganz den Unterschied zwischen der Interpretation der Ergebnisse. Wieso sind die Vektoren linear unabhängig, wenn (0 0 20 /0) gilt, aber linear abhängig wenn (0 0 0/0) gilt. Wie kann man sich das genau vorstellen?

 

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
b
biene0598,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

ohne Rechenweg finden wir den Fehler auch nicht. Ich erhalte allerdings für die dritte Zeile auch nicht \(20t=0\), sondern \(-8.6t=0\). Vielleicht hat Daniel aber auch anders gerechnet.

Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen ist, dass in diesem Beispiel nur eine Lösung existiert (der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich der erweiterten), da in der letzten Zeile die Form \(at=b\), mit \(a \in \mathbb{R}^*\) auftritt, wohingegen \(0t=0\) auf unendlich viele Lösungen hindeutet (Komplanarität) (Rang ist kleiner als die Anzahl der Unbekannten).


Im Übrigen ließe sich die Komplanarität im \(\mathbb{R}^3\) auch mit dem Spatprodukt überprüfen. Wenn das Spatprodukt aus drei Vektoren (bzw. ihre Determinante) null ist, so sind diese komplanar. 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort!
Das heißt ich habe im Fall 20t=0 nur eine Lösung, weil t in diesem Fall nur null sein kann?
Und bei 0t=0 kann mein t sämtliche Werte annehmen, da es durch den Koeffizienten 0 ohnehin zu Null wird?

Ich verstehe noch nicht so ganz, wieso 0t=0 für die Komplanarität spricht. Wie kann ich mir dies eventuell bildlich vorstellen? Weil Komplanarität bedeutet ja, dass die Vektoren aus denen die Matrix besteht alle in einer Ebene liegen.



Und zu meinem Rechenweg:
Im ersten Schritt -> [2] - 1/2*[1]
So komme ich auf die Zeile (0 2,5 3/ 0)
Im zweiten Schritt -> 2,5*[3] - 4* [2]
So komme ich auf (0 0 -9,5/ 0)

Die Zahlen in [] sollen die Zeilen darstellen.
  -   biene0598, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Wenn ich die Komplanarität von 3 Vektoren mithilfe des Spatproduktes prüfe, ist es dann prinzipiell egal aus welchen beiden ich das Kreuzprodukt bilde und mit welchem ich am Ende multipliziere?
Weil durch das Kreuzprodukt bekomme ich ja einen Vektor n der othogonal zu zum Beispiel den Vektoren a und b liegt. Wenn ich dann das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt n der beiden und dem dritten Vektor c berechne und dieses Null ergibt liegen besteht hier ja wieder ein rechter Winkel und sie liegen in einer Ebene. Wenn der dritte Vektor c zwar in einem rechten Winkel zu Vektor n liegt, allerdings von der z Koordinate bspw. höher als die Vektoren a und b, liegen sie ja nicht in einer Ebene, aber dann würde das Spatprodukt auch nicht 0 ergeben oder?
  -   biene0598, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

"Das heißt ich habe im Fall 20t=0 nur eine Lösung, weil t in diesem Fall nur null sein kann?" Wenn du die drei Vektoren gleich dem Nullvektor setzt, und die Vektoren sind nicht komplanar, wirst du nur auf die Parameterlösungen s=0, r=0, t=0 kommen. Sind sie komplanar, so erhältst du eine allgemeine Lösung.
Wenn du zwei Vektoren gleich einem dritten setzt, so existiert genau eine Lösung, wenn sie komplanar sind, und keine, wenn sie es nicht sind.

Hier ( https://www.geogebra.org/3d/jzkatare ) kann man erkennen, dass die blauen Vektoren nicht komplanar und die gelben komplanar sind. Es gibt keine Linearkombination (außer dem NV), sodass wieder der Nullvektor resultiert.

"Im zweiten Schritt -> 2,5*[3] - 4* [2] || So komme ich auf (0 0 -9,5/ 0)" Ich erhalte ( 7.5 | 0 | -9.5 || 0)"

" ist es dann prinzipiell egal aus welchen beiden ich das Kreuzprodukt bilde" Ja, die Reihenfolge ist irrelevant. Ein nicht zyklisches Vertauschen würde nur ein Vorzeichenwechsel bewirken, das bei '0' jedoch egal ist.

"allerdings von der z Koordinate bspw. höher als die Vektoren a und b" Ein Verändern der z-Koordinate kann auch eine Winkelveränderung verursachen.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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