Konvergenz von Reihen und Reihenwert


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Hallo,

ich soll zeigen, dass die Reihe \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {1+k^2} \)  konvergiert und, dass für den Reihenwert s die Abschätzung \(  \frac {\pi} {2} \le s \le 1+ \frac {\pi} {2} \) gilt.

Die Konvergenz habe ich schon bewiesen, doch leider habe ich keine Ahnung wie ich den Reihenwert berechnen könnte.

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
j
joline,
Student, Punkte: 40
 

Versuche es doch mit dem Intergralvergleichskriterium. Hinweis: Es gilt \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+k^2}\,\mathrm{d}k = \left. \tan^{-1}(k)\right\rvert_0^\infty = \frac{\pi}{2}\).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Hallo!

 

Nun, betrachten wir die Untersumme der Funktion \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}\). Diese können wir mit dem Integral folgendermaßen darstellen:

 

\(\displaystyle s \geq \int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \left. \tan^{-1}(x)\right\rvert_0^\infty = \frac{\pi}{2}\).

 

Da \(\displaystyle f(x) \leq 1\) für alle \(\displaystyle x\geq 1\), können wir folgenden Zusammenhang erkennen:

 

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq s \leq 1 + \frac{\pi}{2}\).

 

Sehr grob argumentiert, soll lediglich als Denkstoß dienen.

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 


vielen dank schon mal, aber eine Frage hätte ich noch. Wieso darf man die Summe als integral darstellen? Irgendwie fehlt mir da noch der Zusammenhang. Und wieso darf ich die Funktion so als Untersumme betrachten?
  -   joline, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Nun, sicherlich sagt Dir der Begriff der Riemannsumme etwas … Du hast ja die Folge \(\displaystyle a_k \), über die Du aufsummierst. Wenn man es sich genau anschaut, steht ja überall \(\displaystyle\cdot 1\), also ist hier die Breite der Rechtecke \(\displaystyle 1\) und die Höhe der jeweilige Funktionswert. Daher auch die Summenschreibweise. Nun zu der Untersumme: Führe Dir nochmal vor Augen, was eine Untersumme eigentlich ist. Vergleichst Du dies mit meiner Antwort, so solltest Du die Gleichheit erkennen (falls ich einen Fehler gemacht habe, bitte melden!). Der Rest ist soweit klar?   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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