Integral(e) lösen: S x^2/(x^3-2)^2


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Hallo, könnte mir jemand helfen, dieses bzw. diese Integrale Schritt für Schritt zu lösen?

 

Ich komme iwie nicht weiter mit meinen Büchern..

 

 

Vielen herzlichen Dank

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
m
marcus tangens,
Student, Punkte: 40
 

Das erste Integral – sollte klar sein. Das zweite Integral: partielle Integration. Letztes Integral: Partialbruchzerlegung.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Okay, vielen Dank. beim ersten Integral ists leider nicht ganz klar..   -   marcus tangens, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo!

 

Substitution:

 

\(\displaystyle u = x^3-2 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x\).

Grenzen in die Substition einsetzen:

 

\(\displaystyle 1^2-2 = -1 \) und \(\displaystyle 0^3 - 2 = -2 \)

 

Also erhält man:

 

\(\displaystyle \frac{1}{3}\int_{-2}^{-1} \frac{1}{u^2}\,\mathrm{d}u \)

 

Zum zweiten Integral:

 

Partielle Integration:

 

\(\displaystyle \int_{a}^{b} u\,\mathrm{d}v  = \left.uv\right\rvert_b^a - \int_{a}^{b} v\,\mathrm{d}u\). In diesem Fall entfallen die Integrationsgrenzen, idem est kannst Du sie ignorieren. Zu der Integration von \(\displaystyle \cosh(x)\):

 

Du musst wissen, dass \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh(x) = \cosh(x)\) gilt.

 

Zum letzten Integral:

 

Partialbruchzerlegung, also:

 

\(\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x+2)}  = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \quad\Longleftrightarrow\quad x = Ax - A + Bx + 2B \quad\Longleftrightarrow\quad x = (A+B)x - A +2B \). (Die \(3\) wurde weggelassen, nachher einfach nur noch dranmultiplizieren.)

 

Daraus folgen die beiden Gleichungen:

 

\(\displaystyle A + B = 1 \) und \(\displaystyle 2B - A = 0 \). Der Rest ist trivial.

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Wo kommt denn bei 1) das \(a\) her?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Entschuldigung, ich meine \(u\) natürlich.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

WOW! Vielen herzlichen Dank:) Super   -   marcus tangens, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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