Erneut zum Konvergenzradius


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Hallo,

bei der folgenden Aufgabe verstehe ich die Aufgabenstellung nicht. Was hat es mit dem x_n auf sich, für das eine Rekursion hergeleitet werden soll? Soll ich von dieser Formel ausgehend eine Rekursion herleiten oder von der Reihe auf diese Formel schließen?

Vielen Dank für einen Denkanstoß!

 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo,

wenn \( x_n := \frac {f_n} {f_{n+1}} \), dann gilt auch

\( x_{n+1} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+2}} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+1}+ f_n} = \frac {f_{n+1}} {f_{n+1}(1+ \frac {f_n} {f_{n+1}})} = \frac 1 {1+x_n} \)

Damit haben wir eine Rekursion gefunden.

Nun weiß ich nicht was in Aufgabe 17 passiert ist. Mit der Formel von Euler ist das Quotientenkriterium für Reihen gemeint oder? Wenn wir dieses hier anwenden erhalten wir

\( r = \lim_{n \to \infty} \vert \frac {a_n} {a_{n+1}} \vert = \lim_{n \to \infty} \vert \frac {f_{n+1}} {f_{n+2}} \vert = \lim_{n \to \infty} \vert x_{n+1} \vert \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14883
 

Das hat mir sehr geholfen, vielen Dank! :)

In Aufgabe 17 wurde nämlich genau die rekursive Form behandelt, die für x_n+1 oben herauskommt. Den Grenzwert hatten wir damals praktischerweise auch ermittelt, sodass ich nur noch abschreiben muss.

Einziges Problem ist jetzt noch der zweitere Teil. Die Bedingung bedeutet ja, dass f(z) konvergiert. Ich habe versucht, das gewünschte Ergebnis rückwärts umzuformen, um eventuell Erkenntnisse zu gewinnen. Ich erhalte dann die Reihe mit a_n = z^n * (1+z)^n, woraus ich nicht wirklich eine Erkenntnis gewinnen kann. Wie fange ich die Umformung am besten an?
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Perfekt :)
Bin gerade noch unterwegs. Mir fällt hier auf dem ersten Blick die geometrische Reihe ein. Werde das nachher nochmal durch rechnen. Vielleicht hilft dir das ja schon.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Ich habe die Umformung auf Wikipedia gefunden und konnte die Aufgabe lösen! Trotzdem noch einmal vielen Dank.   -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Sehr gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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