E-Funktionen


1

Wie beschreibe ich am besten eine ganz normale E-Funktion?

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
l
lionel,
Schüler, Punkte: 15
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
0

 

Hallo!

 

Nun, ich nehme mal an, dass es sich hierbei um Kurvendiskussion handelt.

 

Wir gehen zunächst vom allgemeinen Fall aus:

 

\(\displaystyle f(x) = a\mathrm{e}^{b(x-c)} + d \) mit reellen Parametern \(a,b,c\) und \(d\).

 

Nun kann man Folgenes feststellen:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = +\infty \), also divergiert die Funktion bestimmt gegen Unendlich, aber es gilt, dass \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = d \).

 

Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert, sprich \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\).

 

Schaust Du dir hingegen mal die erste Ableitung an, also

\(\displaystyle f'(x) = ab\cdot\mathrm{e}^{b(x-c)} \)

und willst diese \(=0\) setzen, so folgt daraus, dass entweder sowohl \(a\), als auch \(b\), oder mind. einer von beiden Koeffizienten verschwinden muss. Wäre dies aber gegeben, so würde es sich nicht mehr um eine Expoenntialfunktion handeln, folglich also besitzt die Funktion kein globales Maximum oder Minimum. (Anmerkung: \(d\) ist kein globales Minimum, denn dieser Wert wird nie angenommen – es gilt also nur die asymptotische Gleichheit).

 

Schaut man sich die zweite Ableitung der Funktion an, so erhält man

 

\(\displaystyle f''(x) = ab^2\cdot\mathrm{e}^{b(x-c)}. \)

 

Diese verschwindet ebenfalls nur für die oben genannten Bedinungen an die beiden Parameter \(a\) und \(b\), folglich gibt es keinen Wendepunkt bei einer E-Funktion. Die zweite Ableitung ist stets \(>0\) und es gilt, dass

 

\(\displaystyle f''(x+\epsilon) > f''(x) \) für alle \(\displaystyle \epsilon > 0\), also haben wir eine konvexe Funktion vorliegen.

 

Nullstellen besitzt die Funktion nicht, denn, damit diese vorhanden wären, müssten die beiden Parameter \(a\) und \(b\) die beiden genannte Eigenschaften besitzt …

 

Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse lautet:

 

\(\displaystyle f(0) = a\mathrm{e}^{-bc} + d, \)

also \(\displaystyle P\big(0,f(0)\big). \)

 

Gruß.

 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden