Wie muss man c wählen, damit der Grenzwert gilt?


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Meine Aufgabe:

Mein Ansatz ist mit l'Hospital \(1^{\infty}\) zu arbeiten, allerdings kam ich dort dann auch nicht weiter.

Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen.

 

 

 

 

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
a
alderrunner,
Student, Punkte: 19
 
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2 Antworten
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Hallo!

 

Zunächst führen wir die Polynomdivision durch und erhalten folgenden Ausdruck:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^x \)

 

Nun wendet man \(\displaystyle x\mapsto x+c \) an und erhält:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x}\right)^x \cdot \underbrace{\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x}\right)^c}_{\to 1}  \overset{!}{=} 4\)

 

Dies formt man zu

 

\(\displaystyle \mathrm{e}^{2c} = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad c = \frac{\ln\big(2^2\big)}{2} = \ln(2) \)

um.

 

Schau hier nochmal rein: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+-%3E+infty+(+(x%2Bln(2))%2F(x-ln(2))+)%5Ex

 

Hinweis: Es gilt weiter, dass

 

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = \lim_{n\to\infty} \exp\left(bn\cdot\ln\left(1+\frac{a}{n}\right)\right) = \exp\left(bn\cdot\frac{a}{n}\right) = \mathrm{e}^{ab}\), wobei benutzt wurde, dass \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln(1+x) = x \) ist.

 

Bemerkung: Es gilt weiter, dass

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+c}{x} = 1 \), also ist die Substitution, wie sie oben angeführt ist, liegitim, denn im Unendlichen gilt die asymtpotische Gleichheit.

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Danke!   -   alderrunner, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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Hallo,

evaluiere zuerst den Grenzwert in Abhängkeit von c und löse im finalen Schritt die Gleichung mit '4' und dem Ergebnis nach c auf.


Zur Berechnung des Limes bietet es sich an, eine Basisumwandlung von \(\dfrac{x+c}{x-c}\) zu \(e\) durchzuführen, wodurch sich \(\lim\limits_{x\to \infty}e^{x\ln\left (\frac{x+c}{x-c} \right )}\) ergibt.

Durch Anwenden von l'Hopital ergibt sich \(e^{\lim\limits_{x\to \infty} \frac{2cx^2}{(x+c)(x-c)}}\). 
Der Rest ist klar?

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 12501
 

Danke! Jetzt kann ich weitermachen. Leider kann ich nur einer Antwort einen grünen Haken geben, sonst würd ich dir auch einen geben :)   -   alderrunner, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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