Herleitung der Formel von Bernoulli


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Kann mir jemand helfen die Formel von Bernoulli herzuleiten?

P(X=k)=(nk) pk (1p)nk

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
g
gruberus,
Student, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

\(B(k\,\vert\, p,n) := \displaystyle\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)

Zeichnest du dir dazu ein Baumdiagramm, gibt \(p^k\cdot k^{n-k}\) die Anzahl der Äste mit k-Treffern und (n-k)-nicht-Treffern an. Der Binomialkoeffizient stellt die Anzahl der Pfade dar, die k-Erfolge aufweisen. 

Bsp: \(n=3, p=\dfrac{1}{6}, k=2\), so gibt es \(\displaystyle\binom{3}{2}=3\) Pfade, die in Frage kommen. 

Damit \(k=2\) erfüllt ist, muss dies zwei Mal eintreten, somit \(p^2\), da die Tiefe des Baumdiagramms jedoch \(n=3\) darstellt, muss einmal kein Erfolg (mit der "Erfolgs"-WSK \((1-p)\)), also \((1-p)^{3-2}=(1-p)^1\) eintreten.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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ich danke dir   -   gruberus, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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