Parametergleichung, Anaylitische Geometrie, Abiaufgabe


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Es geht um eine Aufgabe in meiner Abiturpräsentationsleistung, ein Ansatz oder Internetseiten wo ich genau dazu etwas finde (es gibt scheinbar mehrerer Parametergleichungen, weshalb ich sehr verwirrt bin), wäre echt toll !

„Damit aus eine Kugel eine Wasserfontäne entspringen kann, muss eine Bohrung senkrecht durch den Mittelpunkt der Kugel zum Boden durchgeführt werden.

Erläutern Sie den Aufbau der Parametergleichungen am Beispiel einer Kugel.“ 

Mein konkrete Frage: Wie kommt diese Bohrung ins Spiel ? 

Ich hoffe mir wird hier so  toll wie die letzten Male geholfen :) Danke schon mal !

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
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lauri.hane,
Punkte: 40
 

Die Frage ist etwas unklar formuliert. Geht es um das allgemeine Erklären von Kugel-/ bzw. Polarkoordinaten, das Bestimmen des Punkts oder wie man eine Bohrung durchführen soll?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo!

 

Falls wir bei der Bohrung von einem Zylinder ausgehen:

 

Die Paramtergleichung dazu lautet

\(\displaystyle  \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}\bar{r}\cdot\cos(\varphi) \\ \bar{r}\cdot\sin(\varphi) \\ t\end{pmatrix}\) mit \(\displaystyle \varphi\in [0,2\pi] \), \(\displaystyle \bar{r} < r\) und \(\displaystyle t\in [-r,r] \).

 

Anmerkung: Ein Zylinder ist ja nichts anderes als ein Kreis, welcher sozusagen über eine gewissen Höhe/Strecke „extrudiert“ wird.

 

Die Höhe in diesem Fall ist einfach der Durchmesser des Kreises. In diesem Fall gehe ich aber davon aus, dass die Kugel durch den Ursprungspunkt \(\displaystyle (0,0,0) \) verläuft. Falls nicht, muss man einfach die Punkte entsprechend der Verschiebung neu ansezten, also einfach dazuaddieren.

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
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einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 


Super vielen Dank ! Ja meine Kugel hat den Mittelpunkt im Ursprung und ein Radius von 4cm. Muss ich also sowohl für diesen Zylinder als auch für die Kugel die Parametergleichung aufstellen ? ( und ist das die Gleiche ?) Danke, dass nimmt mir schon mal viel Unsicherheit!
LG
  -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen


Hallo! Also, ob Du nun für die Kugel die Parametergleichung nimmst oder nicht, hängt ganz von der Aufgabenstellung ab. Ist da nichts genaues angegeben, so ist es Dir überlassen. Falls man sonst nichts mehr mit der Kugel an sich rechnet, könnte man sogar die Darstellung in kartesischen Koordinaten nehmen … Die Darstellung sind äquivalent miteinander, nur bietet die parametrisierte Darstellung für weitere Berechnungen (Volumen, Oberflächeninhalt etc.) Vorteile gegenüber der anderen Darstellung.
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Hast du evtl Internetseiten wo ich mehr dazu finde ? Ich verstehe noch nicht so recht, was überhaupt die Parameterform ist etc. Und wie würde die Parametergleichung vom Zylinder im Dreidimensionalen lauten ?
Vielen Dank ich stehe echt sehr auf dem Schlauch bei der Aufgabe.
  -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Dies ist bereits dir Darstellung im \(\mathbb{R}^3\). Nun, wenn Du dir mal die Kugel ansiehst, kann man natürlich sagen, dass vom Mittelpunkt aus jeder Punkt die gleiche Entfernung hat. Nun kann man aber sagen, Schaue Dir folgendes Bild an: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugel#/media/File:Kugelkoord-def.svg Da siehst Du, dass man nicht nur mit dem Radius, sondern mit den Winkeln argumentiert. Jeder Punkt, der sich mit den genannten Parametern mit den genannten Anforderungen darstellen lässt, beschreibt demnach eine Kugel. Sagen Dir Vektoren was? Im \(\mathbb{R}^2\) beschreiben sie doch nichts anderes als lineare Funktionen, also hast Du eine lineare Funktion einfach parametrisiert. Also nicht verschiedene Werte für \(x\) eingesetzt, sondern einen Richtungsvektor genommen und den einfach „lang gezogen“ – entsprechend mit einem Ortsvektoren verschoben … Schaue Dir einfach ein paar Videos an: https://www.youtube.com/watch?v=W_dA0wwxfo0   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Danke !   -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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