Analytische Geometrie, Kugel, Ebene


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„Bestimmen Sie eine Ebenengleichung, der Ebene, die durch die Mittelpunkte von drei Kugeln verläuft welche sich gegenseitig berühren und die Kugeln schneidet. Bestimmen Sie die Gleichung eines der drei Schnittkreise. Verändern Sie die Ebenengleichung so, dass die Ebene die Kugeln berührt/keine gemeinsamen Punkte mit den Kugeln besitzt.“ 

meine Frage: Wie denke ich mir am besten eine Ebenengleichung selbst aus ? 

LG

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
l
lauri.hane,
Punkte: 40
 
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2 Antworten
1

 

Hallo!

 

Alle drei Kugeln müssen durch eine Gerade verlaufen. Mit dem Radius \(\displaystyle r = 4 \) ergibt dies:

 

\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} + \underbrace{\lambda\cdot\begin{pmatrix}x_1 + a \\ x_2 + b \\ x_3 + c\end{pmatrix}}_{\vec{B}_\lambda} \) mit \(\displaystyle \lambda\in\{0,1,2\} \). Dabei gilt für die Parameter:

 

\(\displaystyle a,b \) und \(\displaystyle c\) stellen Punkte dar, die sich durch \(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} + 4\cdot\begin{pmatrix}\sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \cos(\theta)\end{pmatrix}\) mit \(\displaystyle 0\leq\theta\leq\pi \) und \(\displaystyle 0\leq\varphi < 2\pi \), also irgendein Punkt auf der Oberfläche der Kugel.

 

Demnach hast Du drei Punkte gegeben und stellst eine Ebenengleichung mit der Drepunktsform auf. Nun nimmst Du als Ortsvektoren o.B.d.A.

 

\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} =: \vec{A}\) und 

\(\displaystyle   \vec{B}_1 - \vec{A}, \quad \vec{B}_2 - \vec{A}\) beschreiben die jeweiligen Richtungsvektoren.

 

Die Ebenengleichung lautet daher:

 

\(\displaystyle  \vec{A} + r\cdot(\vec{B}_1-\vec{A}) + s\cdot(\vec{B}_2-\vec{A}) \).

 

Anmerkung: maccheroni_konstante Antwort ergibt sich, wenn man \(\displaystyle \theta = \varphi = 0 \) setzt (man muss natürlich aufpassen, dass die Ebene demnach auch unter den Kugeln verlaufen kann, falls nur der Berührpunkt gefragt ist).

 

Gruß.

 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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Hallo,

wenn die Kugeln die Mittelpunkte \(M_n(x|y|0)\) besitzen, ließe sich als Ebene schlichtweg \(\varepsilon: x_3=0\) nutzen. Dann ist die Schnittkreisgleichung auch trivial. 

Für die Tangentialebene muss bei \(\varepsilon: x_3=d\) die Bedinung \(|d| = r\) der Kugel(n) sein, für keinen Schnittpunkt muss \(|d| > r\) gelten.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 


Also Die Ebene hätte jetzt welche Gleichung ?
Sorry ich hab das nicht ganz verstanden.
  -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

\(x_3=0\) bei dem ersten Teil.

Die anderen beiden sind vom Radius abhängig.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen


Alle 3 Kugeln haben einen Radius von 4.
  -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Du hast 3 Punkte gegeben (Mittelpunkte). Nimm irgendeinen Mittelpunkt als Ortsvektoren. Nun bildest Du mit diesem und den anderen zwei Punkten Richtungsvektoren. Damit stellst Du dann die benötigte Ebene (in Parameterform) auf.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Und kann ich mit der Parameterform auch den Abstand berechnen von einem Mittelpunkt zur Ebene ? Oder muss man sie in die Koordinatenform umwandeln ?   -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Wieso sollte hier mit Polarkoordinaten gerechnet werden?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Also ich bin mir unsicher wie ich nun mit der Parameterform schauen kann ob eine Kugel die Ebene schneidet etc.   -   lauri.hane, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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