Eigenwerte und Eigenvektoren


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a) Bestimmen Sie für die Matrix
M =
3 0 2
0 5 0
2 0 3

Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit
der Eigenwerte.

b) Existiert eine orthogonale Matrix S an, so dass S^T MS eine Diagonalmatrix ist?

Falls ja, geben Sie so eine Matrix S an.
c) Berechnen Sie M^2019 ohne Benutzung eines Rechners.

 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
j
 
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1 Antwort
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Hallo,

es ist immer hilfreich zu schreiben wo genau das Problem liegt und was bereits versucht wurde damit Unklarheiten besser behandelt werden können. 

Ist dir klar was Eigenwerte und Eigenvektoren sind?

Zur a)

Eigenwerte bestimmst du über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Weißt du wie man dieses bestimmt? Die algebraische Vielfachheit ist dabei wie oft eine Nullstelle vorkommt. 
Hat das charakteristische Polynom zum Beispiel die Nullstellen 1,2,2,3. Dann hätten die Nullstellen 1 und 3 die algebraische Vielfachheit 1 und die Nullstelle 2 die algebraische Vielfachheit 2.

Nun kannst du zu jedem Eigenwert einen Eigenraum bestimmen. Ist dir klar wie das geht? 
Die Dimension dieses Eigenraums ist dann die geometrische Vielfachheit.

Zur b)

Welche Eigenschaft muss eine Matrix haben damit sie diagonalisierbar ist?

Zur c)

Es gilt für eine diagonalisierbare Matrix

\( M = S D S^T \\  \Rightarrow M \cdot M = S D S^T S D S^T \\ \Rightarrow M^2 = ? \)

Was ist \( S \) für eine Matrix? Was ergibt somit \( S^T \cdot S \)? Das kannst du dann übertragen auf \( M^{2019} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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