Integralrechnung für Wellengleichung der Quantenmechanik


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Guten Mittag liebe Mathe-Community,

ich habe da leider mal wieder ein Problem, was besonders auf die Integralrechnung zurückzuführen ist.

 

Ich soll folgendes zeigen:

 

Wellengleichung: \( (\Delta - \frac{1}{c^{2}} \frac{\delta}{\delta t^{2}}) \cdot \Psi (x,t) = 0 \)

Zeige, dass das gaußförmige Wellenpaket eine Lösung der Wellengleichung ist:

 

\( \Psi (x,t) = A_{0} * \int exp( - \frac{(k-k_{0})^{2}}{4 (\sigma )^{2}} exp ( i*(Kx-wt) dk \)

 

Ich weiß, dass ich das Integral lösen muss, umstellen muss und dann in die Wellengleichung einsetzen muss, um diese dann nach 0 umzustellen und zu prüfen, ob dieses gaußförmige Wellenpaket die Wellengleichung löst.

Aber wie **** kriegt man das Integral gelöst , besonders mit dem komplexen Anteil ?  Wolfram Alpha spuckt mir da die Fehlerfunktion erf(...) aus.

Ich hoffe, ihr könnt mir da irgendwie beim Integral helfen, ansonsten bin ich aufgeschmissen...

 

Liebe Grüße

Lennard

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
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leonhard,
Schüler, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

Als rein mathematisch kannst Du alles, was kein \(k\) enthält, als Konstante vor dem Integral ziehen. Dann erhälst Du

 

\(\displaystyle A_0\exp\left(i\cdot(Kx-\omega t)\right)\cdot \int \exp\left(-\frac{(k-k_0)^2)}{4\sigma^2}\right) \,\mathrm{d}k\).

 

Diese Funktion ist nicht elementar integrierbar – also es wird etwas mit der \(\displaystyle \mathrm{erf}(\cdots)\) herauskommen …

 

Hier aber noch eine Anmerkung:

 

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \exp(-ax^2)\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \).

 

Ich weiß nicht, ob die Variablen, die bei der Frage verwendet werden, irgendeinen physikalischen Hintergrund und daher eine Definition haben, deswegen ist diese Antwort mit Vorsicht zu genießen …

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Guten Morgen,
vielen Lieben dank für die ausführliche Antwort .
Leider hat sich noch ein Rechtschreibfehler eingeschlichen, wodurch das Integral noch schwieriger wird.

Das i*(Kx-wt) sollte eigentlich ein i*(kx-wt) sein, wodurch man das leider dann nicht rausziehen kann.

Gibt es dann überhaupt eine Möglichkeit, zu zeigen dass dieses Integral eine Lösung der Wellengleichung ist?

Danke nochmal und liebe Grüße
  -   leonhard, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Hallo!

Das wird sehr schwierig zum Integrieren sein. Da muss man wahrscheinlich sehr geschickt substituieren und wahrscheinlich noch eine Laplace-Transformation machen … Schaue Dir mal flammable maths an, der macht solche Videos …
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Vielen lieben Dank, werde ich mir jetzt mal direkt angucken.
Liebe Grüße
  -   leonhard, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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