Winkel Gerade/Ebene


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Ein Berg wird von seiner Südseite zu seiner Nordseite durch einen Autotunnel unterquert. Der Verlauf des Autotunnels kann als Teil einer Geraden modelliert werden. Die x-y-Ebene befindet sich auf der Höhe des Meeresspiegels. (1 LE = 100 m) Auf der Südseite beginnt der Tunnel im Punkt S(0 |40 |6) und endet auf der Nordseite im Punkt N (30 |65| 7 ). 

 

Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, mit deren Hilfe man den Verlauf des Autotunnels modellieren kann. Berechnen Sie die Länge des Autotunnels. Ermitteln Sie den Winkel, in dem die Gerade zur x-y-Ebene ansteigt.

 

Die Gerade habe ich schon ausgerechnet: g:(0,40,6)+r*(30,25,1).

Jetzt komme ich nicht weiter bei dem nächsten Schritt der Aufgabe.

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
k
kulla.xp,
Punkte: 25
 
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1 Antwort
2

Hallo,

für den Winkel \(\varphi \;\; (0° \leq \varphi \leq 90°)\) zwischen Gerade und Ebene gilt:

\(\varphi=\arcsin \dfrac{|\vec{n}\cdot \vec{a}|}{|\vec{n}||\vec{a}|}\), wobei \(\vec{n}\) den Normalenvektor der Ebene und \(\vec{a}\) den Richtungsvektor der Geraden darstellen.


Hier also: \(\varphi = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{30^2+25^2+1^2}} = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{1526}} = \textrm{arccsc} \, \sqrt{1526} \approx 1.47°\)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13176
 

wie ensteht die 1?   -   kulla.xp, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen


Skalare Multiplikation liefert \(\displaystyle 0\cdot 30 + 0\cdot 25 + 1\cdot 1 = 1 \) . Die Norm von \(\displaystyle 1\) ist trivial.
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Skalarprodukt: Bei der Ebene existiert nur \(z=1z\). Also \(1 \cdot 1\) (mit der 3. Komponente des RV) ergibt 1.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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