Wie bildet man mit dem logarithmus (ln) die Ableitung einer e-Funktion


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Hallo, 

im Unterricht (Mathe GK) haben wir das Thema "Natürlicher Logarithmus - Ableitung einer E-Funktion".Wie funktioniert das mit folgenden Funktionen: f(x)= (2/3)^x und f(x)= 5*4^x? 

schonmal vielen Dank 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
s
sema140102,
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2 Antworten
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Hallo,

für die Ableitung einer Funktion \(f(x):=a^{g(x)}\) lautet die Ableitung: \(f'(x)=a^{g(x)}\cdot g'(x) \cdot \ln(a)\)

Daher ist die Ableitung von \(e^x\) immer gleich. \([e^x]' = e^x \cdot [x]' \cdot \ln(e) = e^x\cdot 1 \cdot 1 = e^x\)

Bei \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x\) lautet die Ableitung demnach \(\left (\dfrac{2}{3} \right )^x \cdot 1 \cdot \ln\left ( \dfrac{2}{3} \right ) = \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \ln \left (\dfrac{2}{3} \right )\).


Eine andere Möglichkeit wäre die Basenumwandlung zur Basis \(e\).

Es gilt: \(a^x \equiv b^{x \cdot \log_b(a)}\)

Somit gilt \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \equiv e^{x \cdot \ln \left (\frac{2}{3}\right )}\)

Das Ergebnis ist aber wieder das gleiche.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
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Hallo!

 

\(\displaystyle a^x = \mathrm{e}^{x\cdot\ln(a)} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x = \ln(a)\cdot a^x \).

 

Nun musst Du nur noch Deine Zahlen einsetzen und bei der letzten Funktion die Faktorregel berücksichtigen.

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
e
einmalmathe, verified
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