Geometrische Vielfachheit, Diagonalmatrix


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a) Bestimmen Sie für die Matrize M1 = 

1     0    0

−1 −2   1

0    −2   1  ,

 Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte

 b) Geben Sie eine Matrix S1 an, so dass S1^-1 M1S1 eine Diagonalmatrix ist.

c) Geben Sie eine orthogonale Matrix S2 an, so dass S2^T M2S2 eine Diagonalmatrix ist. 

 

Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich bereits ausgerechnet. 

Wie kann ich die geometrische und algebraische Vielfachheit ausrechnen?

Die b und c verstehe ich leider überhaupt nicht vor allem verwirren mich aber Bezeichnungen wie S1^-1 M1S1

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
j
 
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1 Antwort
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Hallo,

die algebraische Vielfachheit ist die Häufigkeit einer Nullstelle im charakteristischen Polynom. 

Haben wir beispielsweise das charakteristische Polynom

\( \chi(x) = (x-2)(x-2)(x-3)(x-5)(x-5)(x-5) \)

So haben wir die Eigenwerte 2,3 und 5. Dabei hat 2 die algebraische Vielfachheit 2, 3 die algebraische Vielfachheit 1 und 5 die alg. Vielfachheit 3.

Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des dazugehörigen Eigenraums.

Zur b) Die Matrix S ist eine sogenannte Transformationsmatrix.
Wenn wir eine Matrix diagonalisieren, bedeutet dass das wir unsere Abbildung in ein neues Koordinatensystem bringen mit den Eigenvektoren als Basis. Dadurch beschreiben wir die selbe Abbildung aber unsere Abbildungsmatrix erscheint in eine sehr einfachen Form.

Das ganze beschreiben wir eben über die Gleichung 

\( M = S D S^{-1} \)

Nun ist wie gesagt S eine Matrix die eine Basistransformation durchführt. Dabei sind die Spalten von S genau unsere Eigenvektoren. Je nachdem wie wir die Reihenfolge der Eigenvektoren als Spalten wählen, erhalten wir eine andere Reihenfolge der Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix.

Zur c) Was ist \( M_2 \)?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 
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