Mengenlehre: Unendliche Durchschnitte und Vereinigungen


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Bei folgender Folie tu ich mir schwer etwas brauchbares rauszuholen... Kann mir jemand vielleicht mit anderen Worten sagen was da steht?

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
e
eliane,
Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

Hier ein Beispiel:

 

\(\displaystyle M_n := \left\{x\in\mathbb{Q}: \left(x>-\frac{1}{n}\right)\land\left(x<\frac{1}{n}\right)\right\} \qquad \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} M_n = \{0\} \). Bei wachsendem \(\displaystyle n \) werden die Intervalle immer kleiner – genauer gesagt gilt Folgendes

 

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \pm\frac{1}{n} = 0 \).

 

Da hier der Durschnitt gefragt ist und alle Elemente enthalten sein müssen, so ist der Durchschnitt von einer Menge mit einer kleineren Menge, welche in der größeren enthalten ist, eben die kleine Menge.

 

Die Vereinigung:

 

\(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} M_n \)

 

überlasse ich als Übung, denn hier ist tatsächlich nur die Vereinigung gefragt, also liegt ein kleineres Intervall bspw. in einem größeren, so ist das größere Intervall das Ergebnis jener Vereinigung.

 

Anmerkung: Hier die Lösung:

 

\(\displaystyle x\in(-1,1) \quad\Longleftrightarrow\quad \text{alle rationalen Zahlen im jenem Intervall}\)

 

Zweite Anmerkung: Hier sieht man, dass beim Durchschnitt für alle Mengen gelten muss, dass \(\displaystyle x \) in diesen enthalten sein muss – bei der Vereinigung muss es mindestens einen solchen Index geben. Zeichne Dir die Intervalle auf und stelle Folgendes fest: Bei der Vereinigung kann ein \(\displaystyle x \) außerhalb des nächsten Intervalles liegen – hier ist aber die Vereinigung gefragt, also ist dies legitim. Bei dem Durchschnitt wiederum nicht.

 

 

Gruß.

 

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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