Gleichmäßige Stetigkeit und Hölder-Stetigkeit


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Hallo,

 

folgende Aufgabe wird gestellt:

Mein hauptsächliches Problem liegt meiner Meinung nach darin, dass ich noch nicht verstanden habe, wie man generell gleichmäßige Stetigkeit beweist. Wegen der Formel hatte ich zunächst vermutet, dass Hölder-Stetigkeit Lipschitz-Stetigkeit - also auch gleichmäßige Stetigkeit - impliziert, eine Recherche im Internet ergab aber, dass das im Allgemeinen nicht gilt.

Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand zunächst eher allgemein helfen könnte, gleichmäßige Stetigkeit zu beweisen, damit ich mich dann an die Aufgabe wagen kann.

 

Vielen Dank!

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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2 Antworten
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Hallo,

der Unterschied zur punkteweise Stetigkeit, ist das es nicht mehr von einer Stelle \( x \) abhängig ist, sondern überall gilt.

Das ganze ist nicht so leicht zu verallgemeinern, aber man geht prinzipiell von \( \vert f(x) - f(y) \vert \) aus, setzt die Funktion ein und versucht den Ausdruck \( \vert x-y \vert \) zu erzeugen um mit \( \epsilon \) nach oben abzuschätzen und versuchst letztendlich nur eine Ungleichung mit \( \epsilon \) und \( \delta \) zu erzeugen (bei der punktweisen Stetigkeit durfte noch ein \( x \) in der Ungleichung vorkommen).

Schau dir mal genau die obige Defintion und die Definition des \( \epsilon - \delta -\)Kriteriums an. Dann kommst du sicher drauf.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 
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  1. Jede Hölder-Stetige Funktion ist gleichmäßig stetig,  da sie eine verallgemeinerte Form der Lipschitz-Stetigkeit ist. Dies ist auch leicht in Wikipedia nachzulesen. 
  2. Gleichmäßig stetig heißt, dass es unabhängig vom Punkt p ist, d.h. bei deinem gesuchten Delta darf p nicht vorkommen. 
geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
f
freshd75,
Punkte: 55
 
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