Verschiedene Reihen


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Hallo,

folgende Aufgabe erweist sich doch schwieriger als zunächst angenommen.

Bei (a) und (c) habe ich die ersten beiden Summanden addiert und man sieht direkt, dass das Ergebnis korrekt ist. Ich vermute aber, dass hier eine Rechnung verlangt wird?

Bei der (b) habe ich ewig versucht, durch Erweitern und Wegstreichen eine Teleskopsumme hinzubekommen, habe es aber nicht geschafft. Hier wäre ich sehr dankbar für einen Tipp.

Zu der letzten Aufgabe habe ich gar keine Idee. Zwar taucht diese Gleichung auch im Skript auf, bietet mir aber keine Erkenntnisse.

Wie immer vielen Dank für eine Antwort!

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 

interessante Frage   -   anonym, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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2 Antworten
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Hallo!

 

Ich würde die b) wie folgt machen:

 

Substituiere \(\displaystyle a = k+1 \) und erhalte folgenden Ausdruck:

 

\(\displaystyle \sum_{a\geq 2} \frac{1}{(a-1)!} - \sum_{a\geq 2} \frac{1}{a!} = \mathrm{e}-1 - (\mathrm{e}-2) = 1 \).

 

Zu der Restgliedabschätzung:

 

Das Restglied der Exponentialreihe lautet:

 

\(\displaystyle \vert r_N(x)\vert < 2 \text{ für } \vert x\vert< \frac{1}{2}N + 1  \).

 

Nun ersetze jedes \(\displaystyle N \) mit \(\displaystyle 2N-1 \) und du erhälst:

 

\(\displaystyle e = \sum_{k=0}^{2N} \frac{1}{k!} + r_N(x) \), wobei \(\displaystyle 0 < r_N(x) \leq \frac{1}{(2N)!}\cdot 2 \). Damit erhälst Du deine Behauptung, denn Du musst ja immer doppelt so viele Glieder von der Exponentialreihe zusammenfassen, um die Behauptung zu erhalten. Da Du ja bei \(\displaystyle k=0 \) anfängst, musst Du bis \(\displaystyle  2N - 1\) summieren, um \(\displaystyle  2N\) glieder aufsummiert zu haben.

 

Notiz:

 

Das letzte Glied er Abschätzung lautet:

 

\(\displaystyle  \frac{x^{N+1}}{(N+1)!}\cdot r_{N}(x)\), wobei \(\displaystyle x = 1 \) zu setzen ist.

 

Anmerkung:

 

Nimm die Exponentialreihe und fasse die ersten beiden Terme zusammen, also die Reihe

 

\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \) und vergleiche sie mit den Termen der Reihen in der Aufgabe.

 

Bsp:

 

\(\displaystyle  \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} = 2 = \frac{2\cdot 1}{(2\cdot 1 - 1)!} \) usw.

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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Hallo,

wie sieht denn die Potenzreihe von \( e^x \) aus? Setze mal \( 1 \) und \( -1 \) ein und versuche die obigen Reihen zu erzeugen. 

Für die b) muss ich auch nochmal etwas rumrechnen.

Wie ist denn die Restgliedabschätzung definiert? Du musst im Prinzip nur bestimmen, das die Restgliedabschätzung kleiner als \( \frac 2 {(2N)!} \) ist. 

Der letzte Teil der Aufgabe heißt soviel wie, bestimme ab welchem \( N \) der Fehler kleiner als \( \frac {\vert 2,719\overline{4} - 2,71\overline{6} \vert} 2 \) ist. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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