Polarzerlegung Matrizen


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Hallo,

bei uns steht im Skript folgende Folgerung:

\( \mathbb{O}(n) \) bezeichnet die Gruppe der orthogonalen Matrizen.

Die Folgerung ist aus diesem Skript, Seite 121, entnommen:

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/lehre/skripten/mathe2.pdf

Wie ist der Satz (oder die Bedeutung) anschaulich zu verstehen? Mir erschließt sich nicht was er ausdrückt oder wieso er Polarzerlegung heißt.

Danke im Voraus.

Grüße,

h

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2230
 
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1 Antwort
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Hallo,

der Begriff Polarzerlegung stammt aus der Zerlegung einer komplexen Zahl in einen Abstands und Winkelteil 

\( z = r e^{i \varphi } \)

Bei der Polarzerlegung zerlegen wir eine Matrix eigentlich in eine orthogonale Matrix \( U \) (diese sind geometrisch mit Drehungen zu vergleichen, ähnlich dem Winkelteil \( e^{i \varphi} \)) und eine positiv semidefinite symmetrische Matrix \( P \) (positiv semidefinit ist zu vergleich mit \( r \geq 0 \) und die Symmetrie mit der Symmetrie des Radius).

\( A = UP \)

Nun ist \( P \) diagonalisierbar und wir können eine ähnliche Diagonalmatrix finden

\( P = Q \Lambda Q^{-1} \\ \Rightarrow A = U Q \Lambda Q^{-1} \)

Setzen wir nun noch \( Q_1 = UQ \) und \( Q_2 = Q^{-1} \) erhalten wir deine Darstellung

\( A = Q_1 \Lambda Q_2 \)

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hallo Christian,
vielen Dank, das macht natürlich Sinn.
Eine anschauliche Anwendung von Polarzerlegung für Matrizen gibt es aber nicht oder?
  -   wirkungsquantum, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche


Vielen Dank   -   wirkungsquantum, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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