Transformation


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Der Graph von g wird nun um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Der verschobene Graph

wird anschließend so weit nach unten verschoben, bis die Gerade t in zwei Punkten Tan-

gente an den neuen Graphen ist.

Geben Sie an, um wie viele Einheiten der nach rechts verschobene Graph dazu nach unten

verschoben werden muss, und begründen Sie Ihre Angabe.

Ich bin total verwirrt 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
d
david2312,
Schüler, Punkte: -13
 
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1 Antwort
3

Hallo,

nach der Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts entsteht die Funktionsgleichung

\(g(x-2)=g^*(x)=\dfrac{1}{4} \left (x^4 - 8 x^3 + 16 x^2 - 6 x + 4 \right )\).

Nun müssen die zwei Berührstellen ermittelt werden. Subtrahiert man beide Funktionen voneinander, so erhält man \(\left [ g^*(x)+a\right ]-t(x)=h(x)=\dfrac{x^4}{4} - 2 x^3 + 4 x^2 + 3 +a = 0\). Nun muss der Parameter so gewählt werden, dass lediglich zwei Nullstellen existieren. Wählt man \(a=-3\), so entfällt das konstante Glied, und es verbleibt \(\dfrac{x^4}{4} - 2 x^3 + 4 x^2=0\), wobei je zwei doppelte Nullstellen existieren.

Also lautet die finale Funktion \(\dfrac{1}{4} \left (x^4 - 8 x^3 + 16 x^2 - 6 x + 4 \right ) -3 \).


Rein rechnerisch (händisch etwas kompliziert), würden die Lösungen für \(h\) nach \(x\) aufgelöst in der Wurzel immer einen Term mit \(\sqrt{-a-3}\) erhalten. Somit wird dieser für \(a=-3\) null und eliminiert die Wurzel, weshalb die zwei Nullstellen zusammenfallen und \(x_{1,2}=2,\, x_{3,4}=-2\) ergeben:

\(x_1=2+\sqrt{\vphantom{\sum} 4-2\sqrt{-a-3}}\\
x_2=-2+\sqrt{\vphantom{\sum}4-2\sqrt{-a-3}} \\
x_3=2+\sqrt{\vphantom{\sum}4+2\sqrt{-a-3}}\\
x_4=2-\sqrt{\vphantom{\sum}4+2\sqrt{-a-3}}\)


Eine andere, möglicherweise elegantere Möglichkeit ist so zu argumentieren, dass die Gerade eine Steigung von \(m=-1.5\) besitzt. Verschiebt man die Polynomfunktion nun um 2 LE nach rechts, so befindet sich der Graph der Geraden um \(-1.5 \cdot 2 = -3\) LE auf der y-Achse weiter unten. Folglich muss man den Graph der Funktion \(g^*(x)\) auch um 3 LE nach unten verschieben, weshalb \(g^*(x)-3\) die korrekte Funktion ist.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vielen Dank für Ihre Hilfe! Warum sind Sie so gut in Mathe? Studieren Sie Mathe oder so, wenn ich fragen darf? Ich möchte auch stärker in Mathe werden aber wie? Sie scheinen sehr gut zu sein :)   -   david2312, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Mit ein bisschen Ehrgeiz und Lust (in seiner Freizeit) sind Matheforen doch das beste Mittel, um in Mathe fit zu werden und zu bleiben. (Ich spreche hier von der Beantwortung von Fragen)
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Okay danke   -   david2312, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Die letze Möglichkeit habe ich leider nicht richtig verstanden. Wieso - 1,5.2?
Wieso rechnet man das aus? Wenn die Gerade um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird, dann erhält man t(x-2) =-3x/2+1
  -   david2312, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Ich rede von der Polynomfunktion, nicht von der linearen.
"Der Graph von g wird nun um 2 Einheiten nach rechts verschoben."
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Ja aber warum - 1,5. 2(Steigung mal 2).Ist es eine Formel? Wieso nicht -1,5.3?   -   david2312, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Habe ein Bild ergänzt. Angenommen, wenn \(g\) diese Gerade im Punkt (0|0) berühren würde, und man würde \(g\) nun zwei Einheiten nach rechts verschieben, so berühren sie sich nicht mehr. Also muss man die Funktion um \(2 \cdot (-1.5)\) LE nach unten verschieben, da die Gerade pro KE nach rechts um 1.5 nach unten fällt.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Vielen Dank. Jetzt habe ich verstanden   -   david2312, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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