Extremwertaufgaben


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Bald habe ich meine Abschlussprüfungen und ich begreife immernoch nicht diese Extremwertaufgaben. Kann mir hier jemand helfen?

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
f
feelsfreshh,
Schüler, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

Abstandsberechnung mithilfe des Satz des Pytagoras:

\(d(O;P) = \sqrt{P_x^2+P_y^2}\)

Nun haben wir die Funktion \(y=\dfrac{2}{x}\) gegeben, weshalb wir die Variable \(y\) ersetzen können. Die Zielfunktion lautet also:

\(Z(x)=\sqrt{P_x^2+\left (\frac{2}{x} \right)^2}\)

Gesucht ist nun das Minimum, also ableiten und nullsetzen:

\(Z'(x)=0 \rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{2}\)

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt für beide x-Werte:

\(Z''(x_1)=Z''(x_2)=2 > 0 \Longrightarrow \textrm{Minimum}\)


Da \(y(x)\) eine Zentralsymmetrie zum Ursprung aufweist, besitzt somit der Punkt (die Punkte) \(P\left(\pm \sqrt{2} \,| \pm \, y(\sqrt{2})\right )\) den geringsten Abstand (\(d=2\)).

 

Eine Skizze hilft im Übrigen bei der Aufgabenlösung.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Danke viel mal, jetzt verstehe ich es!
wenn jemand noch die unteren Aufgaben lösen könnte, wäre ich ihm/Ihr sehr dankbar :)
  -   feelsfreshh, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

a) Minimum der Differenzfunktion gesucht -> Extremstellen mithilfe der Ableitung berechnen
b) Mithilfe der 2. Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium
c, d) Wieder jeweils eine Extremwertaufgabe.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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