Wie würdet ihr diese DiffGleichung lösen?


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gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
p
philipp_66,
Punkte: 15
 
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Hallo!

 

Folgendes:

 

\(\displaystyle y' + P(x)y = Q(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \).

 

Mit der Produktregel erhält man:

 

\(\displaystyle \mu'(x) = \mu(x)P(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \exp\left(\int P(x)\,\mathrm{d}x\right) = \mu(x) \).

 

Also steht

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big(\mu(x)y\big) = \mu(x)Q(x) \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{\int \mu(x)Q(x)\,\mathrm{d}x}{\mu(x)} \).

 

Nun hast Du den integrierenden Faktoren:

 

\(\displaystyle \mu(x) = \exp\left(\int -\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\right) = \exp\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\underbrace{\exp(C)}_{=: C^*} \).

 

Mit der Anfangsbedingung bestimmst Du die Konstante.

 

Nun rechnest Du:

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(C^*\cdot\int\exp\left(\frac{1}{x}\right)\,\mathrm{d}x\cdot y\right) = 1  \).

 

Anmerkung: \(\displaystyle \exp\left(\frac{1}{x}\right) = -\exp(x).\)

 

Der Rest sollte klar sein …

 

P.S.: Dieses Video ist sehr hilfreich …

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
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