Punkt bestimmen [Abstand gegeben]


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Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene  E: 2x+6y-9z=-6 und durchstößt die Ebene im Punkt P(0|2|2). Bestimmen Sie alle Punkte auf der Geraden g, die von der Ebene E den Abstand 11 haben.

Lösungen: P1 (2|8|-7) und P2 (-2|-4|11)

Frage: wie sieht der Lösungsweg aus?

 

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
x
xjsmx,
Schüler, Punkte: 249
 
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2 Antworten
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Hallo!

 

Hier ein etwas intuitiver Weg:

 

Der Normalenvektor lautet ja

 

\(\displaystyle \vec{n} = \begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ -9\end{pmatrix} \). Wenn wir nun Daraus einen Vektoren machen, welcher genau durch den Punkt \(\displaystyle (0,2,2) \) (=Ortsvektor) durchläuft, so erhalten wir:

 

\(\displaystyle \lambda\cdot\vec{n}+P \). Der Schnittpunkt ist also \(\displaystyle (0,2,2) \).

 

Der Abstand zwischen dem Vektoren und dem Punkt ist demnach:

 

\(\displaystyle \sqrt{ (2t-0)^2 + (6t+2-2)^2 + (-9t+2-2)^2 } = \pm 11t \overset{!}{=} 11 \quad\Longleftrightarrow\quad t = \pm 1 \).

 

Eingesetzt in den Vektoren ergibt das die beiden Punkte.

 

Hier noch eine Abbildung: https://imgur.com/GD3nZ75

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 
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Hallo,

der Normalenvektor besitzt die Länge 11. 

Stellst du nun die Geradengleichung auf \(g: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda \vec{n}\) und setzt \(\lambda = \dfrac{d}{|\vec{n}|}\), wobei \(d\) der gesuchte Abstand ist, so erhältst du die zwei Ortsvektoren der gesuchten Punkte (den Richtungsvektor einmal addieren und einmal subtrahieren). Da der gesuchte Abstand der Länge des NV entspricht, sind die Ortsvektoren der gesuchten Punkte schlichtweg: 

\(P_1:  \overrightarrow{OP}+ \vec{n} \longrightarrow P_1(2|8|-7)\\
P_2:  \overrightarrow{OP}- \vec{n} \longrightarrow P_2(-2|-4|11)\)

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 
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