Stammfunktionen, Integral


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Hallo. Ich verzweifel komplett an dieser Integration. Hab über die verschiedensten Substitutionen schon alles versucht und komme einfach nie auf ein Ergebnis. Kann mir jemand helfen?

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
m
madsop,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

das ist ein sehr spezielles Integral. Hier musst du mit einer trigonometrischen Substituition arbeiten.

Du legst fest: u=arctan(x) und dx=Ableitung von Phi du=1/cos^2(x)du=sec^2(x)du

Damit erhältst du:

sec2(u)tan2(u)+1du

Mithilfe der trigonometrischen Identität tan^2(u)+1=sec^2(u) erhältst du: sec3(u) du=0,5*sec(u)*tan(u)+0,5*sec(u)du

Der letzte Summand ist ein triviales Integral(Tabelle etc.): sec(u)du=ln(tan(u)+sec(u))

Das setzt du ein und führst schlussendlich die Rücksubst. durch und erhältst:

0,5*ln(x2+1+x)+0,5*xx2+1 +C.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

P.S. sec ist der Sekans.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
h
hubble,
Punkte: 240
 
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