Vollständige Induktion


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Ich verzweifle grade an einer Klausuraufgabe, komme seit Stunden nicht auf meinen Fehler.

Vor allem der Induktionsschritt ist mir ziemlich unklar!

denn die Lösung lautet: 1/3 n+1 = 1/3 n+1

Wäre ziemlich toll, wenn mir jemand helfen könnte :)

 

Quelle der Aufgabe: Musterklausur HFU

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
j
jeje01,
Student, Punkte: 15
 
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2 Antworten
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Hallo,

der erste Schritt ist, dass du den Induktionsanfang aufstellst, also dass A(1) wahr ist:

in deinem Fall: \(\frac{ 1}{ 3 } *1*(1+1)*(1+2)=2\).

Der zweite Schritt ist zu zeigen, dass die Induktionsbehauptung \(A(n)=\frac{ 1 }{ 3 }*n*(n+1)*(n+2)\) gilt.

Der entscheidende Punkt ist der Induktionsschritt. Wir haben gezeigt, dass A(n) \(\forall  n\in\mathbb{N}\) gilt.

Nun setzen wir n+1 ein: \(\frac{ 1 }{ 3 }*(n+1)*(n+2)*(n+3) =1*2+2*3+...+(n+1)*(n+2)\)

Da dies für n+1 gilt, gilt es für alle natürlichen Zahlen.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
h
hubble,
Punkte: 240
 


Berichtigung: durch die Induktionsbehauptung haben wir gezeigt, dass es für n gilt, nicht für alle n Element der Natürlichen Zahlen. Das folgt erst aus der Gültigkeit für n+1.
  -   hubble, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Hat mir weitergeholfen. Allerdings fällt mir nun das auflösen schwer,
denn die Lösung lautet:
1/3 n+1 = 1/3 n+1

verstehe aber nicht wie ich darauf kommen soll.
  -   jeje01, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Ich habe es unter den Kommentarbereich geschrieben.   -   hubble, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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Mein Ansatz wäre: \(\sum\limits_{ k = 1 }^{ n+1 }{ k*(k+1) } =\sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ k*(k+1) }+(n+1)*(n+2)=\frac{ n*(n+1)*(n+2) }{ 3 }+(n+1)*(n+2)=\frac{ n*(n+1)*(n+2)+3*(n+1)*(n+2) }{ 3 }\)

Zusammengefasst ergibt sich : \(\frac{ (n+1)*(n+2)*(n+3) }{ 3 }\)

Wie oben geschrieben, ergibt A(n+1) ebenfalls \(\frac{ (n+1)*(n+2)*(n+3) }{ 3 }\)

Du kannst \((n+1)*(n+2)\) ausklammern und erhältst \(\frac{ n}{ 3 }+1\)

Ich hoffe, das hilft dir.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
h
hubble,
Punkte: 240
 

Wie komme ich auf die 3 im Zähler?   -   jeje01, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Du erweiterst mit 3.
so: \((n+1)*(n+2)=\frac{ 3 }{ 3 }*(n+1)*(n+2)=\frac{ 3*(n+1)*(n+2) }{ 3 }\)
  -   hubble, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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