Uneigentliches Integral - Wert des Integrals bestimmen


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\frac {x-x^-1} {1+x}

Integrationsbereich von 0-8. 

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie diese Funkion zu integrieren ist?

 

gefragt vor 4 Monate
b
boltzmann,
Punkte: -5
 
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1 Antwort
3

Hallo,

als Tipp: \(\dfrac{x-x^{-1}}{1+x}=\dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}\)

Und somit \(\displaystyle\int 1\, dx - \int \dfrac{1}{x}\, dx\).


Da aber bei \(x=0\) eine Polstelle existiert, divergiert das Integral.

geantwortet vor 4 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Vielen Dank für den hilfreichen Tipp !
Wie würde denn das ganze ausschauen, wenn ich im Zähler statt x, die Zahl 1 stehen würde ?
Danke im Voraus :)
  -   boltzmann, kommentiert vor 4 Monate

In welchem Zähler?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate

\frac {1-x^-1} {1+x}
In dem Zähler der Ausgangsfunktion :)
  -   boltzmann, kommentiert vor 4 Monate

Dann würde die Funktion \(\dfrac{1-1^{-1}}{1+x}=0\) lauten.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate

Ich denke ich habe die erneute Fragestellung etwas missverständlich formuliert.
In dem Fall, in dem die Funktion gleich \frac {1-x^-1} {1+x} ist, bin ich mir unsicher, wie ich das Integral bilden kann. Hierzu gibt es ja mehrer Möglichkeiten und ich weiß nur nicht, welchen Ansatz ich treffen soll (es ist auch gestattet, Ansätze aus den Intefraltafeln, wie zum Beispiel in der Mathematischen Formelsammlung nach Papula zu treffen). Vielen Dank für deine Bemühungen :)
  -   boltzmann, kommentiert vor 4 Monate

Das Lösen würde eher unter 8.3 Partialbruchzerlegung fallen.

\(\dfrac{1-\frac{1}{x}}{x+1}=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x}\)

Und dann mit der Summenregel getrennt integrieren:
\(-\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\, dx + \int \dfrac{2}{x+1} = -\ln(|x|) + 2\ln(|x+1|)+C\)
(Beträge beim komplexwertigen Logarithmus weglassen)
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate

Perfekt, danke :)
  -   boltzmann, kommentiert vor 4 Monate
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