Affine Abbildung


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Ist das Doppelverhältnis bei einer affinen Abbildung invariant?

Ich habe  4 Punkte p_i einer Geraden genommen. Das DV der 4 Punkte und  A*p_i + v (affine Abbildung) bestimmt.

Mir gelingt es nicht die Gleichheit der Doppelverhältnisse der Bildpunkte mit den Urbildpunkten zu zeigen.

Vielen Dank

 

 

 

Es muß natürlich TV( af(A), af((B), af(P) ) heißen.

 

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
s
starwick,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20
 
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4 Antworten
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Hallo,

soweit ich weiß ist das Doppelverhältnis im allgemeinen nur bei Zentralprojektionen invariant. 

Hast du eine Zentral- oder Parallelprojektion vorliegen?

Tut mir Leid das die Antwort so spät kommt. War das Wochenende leider unterwegs.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 


Bei der Affinen Abbildung gilt: "Drei verschiedene Punkte, die auf einer Geraden liegen (kollineare Punkte), werden so abgebildet, dass das Teilverhältnis ihrer Bildpunkte mit dem der Urbildpunkte übereinstimmt – es sei denn, alle drei werden auf denselben Bildpunkt abgebildet." aus Wikipedia.Folgt daraus nicht die Invarianz von Doppelverhältnissen?
Denn das Doppelverhältnis ist der Quotient von Teilverhältnissen.
  -   starwick, kommentiert vor 4 Monate

Wo auf Wikipedia hast du das gelesen?
Hmm ich hatte leider selbst noch nicht so viel mit der projektiven Geometrie zu tun. Vielleicht magst du einmal deinen Rechenweg hochladen, dann kann ich gucken ob ich einen Denkfehler finde.
Ich habe aber nochmal etwas recherchiert und ich finde häufig die explizite Aussage das eben Zentralprojektionen ein invariantes Doppelverhältnis haben.
Das kann aber auch daran liegen, das wohl dafür das Doppelverhätnis eingeführt wurde, da ein Teilverhältnis nicht invariant unter Zentralprojektion ist (bei nichtparallelen Geraden, ist der Mittelpunkt nicht mehr der Mittelpunkt auf der Bildgeraden).
Deshalb verwirrt mich aber auch etwas die Aussage die du gefunden hast.
Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate


Entschuldigung daß ich jetzt erst antworte. War verreist. Hier der Link zur Definition der affinen Abbildung. https://de.wikipedia.org/wiki/Affine_Abbildung
Zentralprojektion ist i. A. nicht affin.
  -   starwick, kommentiert vor 4 Monate

Kein Problem :)

Ah ja ok dann hatte ich da wohl den Denkfehler. Tut mir Leid.
Wie gesagt vielleicht magst du deine Rechnung einmal hochladen. Vielleicht ist irgendwo auch ein Rechenfehler aufgekommen.
Da das Teilverhältnis invariant bleibt, sollte dann auch das Verhältnis der Teilverhältnise invariant sein. Da gebe ich dir wohl recht.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate


Die Rechnung habe ich auf einem Schmierblatt, die schreib ich noch mal sauber ab. Sorry. Bitte um Geduld.
  -   starwick, kommentiert vor 4 Monate

Kein Problem :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate

Meine Rechnung habe ich fotografiert. Kann ich die hochladen?
Ich weiß nicht wie?
  -   starwick, kommentiert vor 4 Monate
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Ah perfekt. Habe den Fehler gefunden. 

Du hast dich bei der Berechnung von \( \overline{AP} \) verrechnet.

\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \overline{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 6 - 0 \\ -1 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \) 

Also erhalten wir \( \vert \overline{AP} \vert = \sqrt{ 6^2 + (-2)^2 } = \sqrt{40} \)

Damit erhalten wir 

\( TV(A,B,P) = \frac {\sqrt{40}} {\sqrt{10}} = \sqrt{\frac {40} {10}} = \sqrt{4} = 2 \)

Wenn du dein anderes Teilverhältnis weiter vereinfachst, erhälst du

\( \sqrt{\frac {104} {26}} = \sqrt{4} = 2 \)

Damit geht die Rechnung auf. 

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Herzlichen Dank, ich habe es immer wieder durch gesehen und nicht bemerkt. Ich bin bald wahnsinnig geworden. Nochmals vielen herzlichen Dank.   -   starwick, kommentiert vor 3 Monate, 4 Wochen
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Jetzt noch der allgemeine Beweis

 

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
s
starwick,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20
 
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Hallo,

ja das sieht soweit richtig aus :)

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 
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