Lineares Gleichungssystem mit Parameter


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Es ist folgendes Gleichungsystem mit Parameter a gegeben. Der Parameter soll so bestimmt werden, dass das LGS keine, genau eine, oder unendlich viele Lösungen gibt.

\(1x_{1} + 2x_{2} + 1x_{3} = 1\)

\(1x_{1} + 1x_{2} + 2x_{3} = 1\)

\(2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} = a\)


Ich habe das LGS dazu in Zeilenstufenform gebracht:

 

\(1x_{1} + 2x_{2} + 1x_{3} = 1\)

\(0x_{1} + -1x_{2} + 1x_{3} = 0\)

\(0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = a-2\)

 

Jetzt kann man ablesen, dass wenn \(a \neq 2\) ist, das LGS keine Lösung hat, da die letze Zeile sonst nicht lösbar ist.

Außerdem kann man ablesen, dass wenn \(a = 2\) ist, das LGS unendlich viele Lösungen hat, da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, bzw. der Rang von (A) gleich dem Rang der erweiterten Matrix (A,b) ist.

 

Aber wie kann ich a so bestimmen, dass es nur eine Lösung gibt?

Habe ich genau eine Lösung nicht schon durch die oberen Überlegungen ausgeschlossen?

 

Vielen Dank für Eure Hilfe!

 

gefragt vor 4 Monate
s
science_core,
Student, Punkte: 10
 

Alternativ kannst Du mit der Cramarschen Regel arbeiten.   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

Da du mit \(a=2\) und \(a\neq 2\) alle Möglichkeiten für \(a\) inkludiert hast, gibt es keine Möglichkeit, eine eindeutige Lösung zu erzielen.

Für \(a=2\) existiert nur die allgemeine Lösung \(z=y=\dfrac{1-x}{3}\)

 

Alternativ: Der Rang der erw. Systemmatrix ist nie kleiner als der der Systemmatrix.

geantwortet vor 4 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Vielen Dank!   -   science_core, kommentiert vor 4 Monate
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