Beweis zu Funktionenfolgen


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Hallo

ich brauche hilfe bei diesem Beweis. Ich habe leider noch keinen richtigen Ansatz, wie ich da ran gehen soll.

 

gefragt vor 4 Monate
j
joline,
Student, Punkte: 40
 
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1 Antwort
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Hallo,

da \( f_n (x) \) glm. konvergent ist, gilt

\( \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D_f} \vert f_n(x) - f(x) \vert = 0 \)

Nun ist für jedes \( n \in \mathbb{N} \) der Grenzwert der Funktionenfolge 

\( \lim_{x \to \infty} f_n(x) = a \) 

also

\( \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D_f} \vert \lim_{x \to \infty} f_n(x) - \lim_{x \to \infty} f(x) \vert = 0 \\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D_f} \vert a - \lim_{x \to \infty} f(x) \vert = \sup_{x \in D_f} \vert a - \lim_{x \to \infty} f(x) \vert = 0 \)

Was können wir daraus für \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) schließen?

Tut mir Leid das die Antwort so spät kommt, war das Wochenende leider unterwegs. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

Kann man daraus schon schließen, dass \( \lim_{x \to \infty} f(x) =a \) ist, weil \( \vert a - \lim_{x \to \infty} f(x) \vert \) eine Nullfolge ist?   -   joline, kommentiert vor 4 Monate

Ich würde eher darüber argumentieren, dass das Supremum von \( \vert a - \lim_{x \to \infty} f(x) \vert = 0 \) ist. Also ist die größte Abweichung in unserem Bereich Null. Da wir aber einen konstanten Wert gegeben haben, muss unsere Funktion auch dieser konstante Wert sein.   -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate

Okay alles klar. Vielen dank für die Hilfe.   -   joline, kommentiert vor 4 Monate
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