Welche Ansätze wählt man hier?


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Hallo,

Aufgaben drehen sich ja meist um ein bestimmtes Thema. Bei folgender Aufgabe kann ich leider nicht erkennen, was geübt werden soll, weshalb mir noch die Ansätze fehlen.

Die meisten der Aussagen sind ja mehr oder weniger klar, nur weiß ich nicht, wie man das dann auch beweist.

Somit würde ich mich über das passende Stichwort zur Aufgabe freuen!

Vielen Dank!

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 163
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

a) Ich würde zeigen, dass \(\displaystyle \exp(x) \) bijektiv ist und dass \(\displaystyle \exp(x) \) streng monoton steigt. Da \(\displaystyle \exp(x) = 1 \Longleftrightarrow x = 0 \), folgt daraus automatisch, dass \(\displaystyle \exp(x) > 1 \) für \(\displaystyle x > 0 \).

 

b) \(\displaystyle \exp(x) \) besitzt kein (globales) Minimum und kann keine negativen Werte annehmen, folglich muss die \(\displaystyle  >0\) sein. Unter Benutzung von a) erhält man die Behauptung.

 

c) \(\displaystyle x\mapsto ix \) und so zeigen, dass \(\displaystyle \mathrm{e}^{ix} = \cos(x)+i\sin(x) \). Somit gilt:

 

\(\displaystyle \vert \mathrm{e}^{ix}\vert = \sqrt{\big(\cos(x)+i\sin(x)\big)\big(\cos(x)-i\sin(x)\big)} = 1\)

 

d) Dies ist offensichtlich, denn

 

\(\displaystyle \sin(z) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = k\pi \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).

 

Außerdem

 

\(\displaystyle \cos(z) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = (2k+1)\frac{\pi}{2} \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).

 

Beide Nullstellen besitzen den Imaginärteil \(\displaystyle \mathrm{Im}(z_{1,2}) = 0 \) und sind somit reell.

 

Gruß.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

Vielen herzlichen Dank für die sehr hilfreiche Antwort! :)   -   tisterfrimster, kommentiert vor 4 Monate
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