Würfel mit Laplace-Eigenschaft: Aufgaben


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Ein idealer Würfel wird durch Überkleben verändert (siehe Bild 1); seine Laplace-Eigenschaft verliert er aber dadurch nicht.

c) Wie viele Dreien kann man im Mittle erwarten, wenn man viele Serien von 12 Würfen mit diesem Würfel durchführt?

f) Es werden drei solche Würfel nacheinander geworfen; jeder geworfene Würfel bleibt liegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

1: Unter den 3 Würfen befindet sich genau einmal die Eins

2: Jeder nachfolgende Würfel zeigt eine Augenzahl, die kleiner ist als die Augenzahl des zuvor geworfenen Würfels

3: Jeder nachfolgende Würfel zeigt eine Augenzahl, welche die Augenzahl des zuvor geworfenen Würfels nicht übertritt.

 

gefragt vor 4 Monate, 1 Woche
x
xjsmx,
Schüler, Punkte: 249
 
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1 Antwort
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Hallo,

ein Baumdiagramm ist wie immer hilfreich.

c) EW der Augenzahl bei 12x Würfeln:
\(12 \cdot \mu\) mit \(\mu:=\dfrac{1}{6}+6\cdot \dfrac{3}{6}+3\cdot \dfrac{2}{6}\)

f)

\(\mathbb{P}(1)=3\left (\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{25}{72}\)
Alternativ mit der Binomialverteilung \(n=3, p=1/6, k=1\)

\(\mathbb{P}(2)=\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}\)
Es ist nur das Ereignis "631" möglich.

\(\mathbb{P}(3):\) Die möglichen Ereignisse lauten: \(\Omega=\{(111), (311), (331),(333), (611), (631), (633), (661), (666)\}\) Damit ließen sich Überlegungen anstellen.
Mit dem Gegenereignis zu rechnen wäre vermutlich auch nicht schneller.

geantwortet vor 4 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Perfekt! Die Aufgabe f habe ich nun komplett verstanden! Nur noch kleine Frage zu c).
μ ist der Erwartungswert. Wie kann ich genau wissen, ob er für eine 3 steht und nicht z.B. eine Sechs?
  -   xjsmx, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

\(\mu\) gibt den Erwartungswert der Augensumme bei einmaligem Würfeln an.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Sorry, wahrscheinlich habe ich meine Frage ein bisschen falsch formuliert. Eigentlich meinte ich, wenn ich den Erwartungswert μ ausrechne, gibt dieser Erwartungswert, dass n-mal eine bestimmte Zahl (wie in diesem Fall) zu erwarten ist. Würde der Lösungsweg nicht gleich aussehen, wenn die Aufgabe lautete: "Wie viele Sechser im Mittel zu erwarten?"   -   xjsmx, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Oh, ich habe die Frage falsch gelesen.
Es werden im Mittel \(12\cdot \dfrac{2}{6} = 4\) Dreien erwartet.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche

Herzlichen Dank! Sie haben mir schon Tausend Mal geholfen! :)   -   xjsmx, kommentiert vor 4 Monate, 1 Woche
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