Extremwertaufgaben


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Ich habe hier 2 Extremwertaufgaben. Könntet ihr mir hier bitte helfen:)

1) Diskutiere: Der Würfel hat unter allen Quadern das grösste Volumen bei gegebener Oberfläche.

2) Welcher einer Kugel eingeschriebene gerade Kreiskegel hat die grösste Mantelfläche?

 

gefragt vor 3 Monate
f
feelsfreshh,
Schüler, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

1) Sei der Oberflächeninhalt \(\displaystyle O \) gegeben und \(\displaystyle  a,b,c\neq 0\) Seitenlängen, wobei \(\displaystyle a\neq b\neq c \).

 

Daraus folgt, dass

 

\(\displaystyle a+b \neq 0 \) und \(\displaystyle c = \frac{O-ab}{a+b} \) gilt.

 

Bspw. wähle man \(\displaystyle  a = 2\), \(\displaystyle b=1 \) und somit \(\displaystyle c = \frac{1}{3} \). Der Oberflächeninhalt beträgt demnach \(\displaystyle  O = 6\) und das Volumen \(\displaystyle  V = \frac{2}{3}\). Für den Würfel wiederum: 

 

\(\displaystyle 6 \overset{!}{=} 6a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad V = 1 > \frac{2}{3}\).

 

Also für den Würfel allgemein:

 

\(\displaystyle  V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). Hieran sieht man, dass das Volumen zwangsläufig größer sein muss, denn für den Quadar gilt:

 

\(\displaystyle V = ab\frac{O-ab}{a+b} \), denn es muss \(\displaystyle O > ab \) gelten!

 

2) Mantelfläche: \(\displaystyle  \pi \bar{r}s\), Radius in Abhängigkeit von der Höhe:

 

\(\displaystyle \left(1-\frac{h}{r}\right)\cdot r =: \bar{r} \) mit \(\displaystyle -r \leq h\leq r \) – also für \(\displaystyle h = -r \) liegt hier die größte Mantelfläche vor.

 

Der Kugelradius ist hierbei als \(\displaystyle  r\) bezeichnet worden.

 

Anmerkung:

 

\(\displaystyle  s = \sqrt{\left(r-\frac{h}{r}\right)^2+\left(\left(1-\frac{h}{r}\right)r\right)^2}\).

 

Bspw. Sei \(\displaystyle r=1 \) und \(\displaystyle  h=-1\). Demnach erhält man \(\displaystyle 2\sqrt{2} \), wohingegen man bei \(\displaystyle  h=0\) nur \(\displaystyle  \sqrt{2}\) rauskriegt.

 

Gruß.

geantwortet vor 3 Monate
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1415
 

danke!!   -   feelsfreshh, kommentiert vor 3 Monate
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