Gleichmäßige konvergenz von Funktionenreihen


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Hallo,

ich soll bei der folgenden Funktionenreihe prüfen, ob sie gleichmäßig und ob sie punktweise konvergent ist:

\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac {x} {k(1+kx^2)}\) auf R

die punkntweise konvergenz habe ich bereits. Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie ich bei der gleichmäßigen vorgehen soll. Ich weiß wohl, dass man das prüfen kann, indem man sich \(sup\vert s_{n}(x) - s(x) \vert \) anguckt und wenn das gegen Null geht ist es gleichmäßig konvergent. Aber wenn ich jetzt für s(x) Null einsetzte ist es doch klar das es wieder gegen Null geht, da fn(x) ja auch gegen Null geht. Das kann es doch nicht sein, oder? 

 

 

gefragt vor 5 Monate
j
joline,
Student, Punkte: 40
 
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1 Antwort
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Hallo!


 


Es gilt


 


\(\displaystyle \left\vert\frac{x}{k(1+kx^2)}\right\vert = \left\vert\frac{x}{k+k^2x^2}\right\vert < \left\vert\frac{x}{k^2x^2}\right\vert = \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \).


 


Da die \(\displaystyle  \zeta(2)\) Reihe gleichmäßig konvergiert, so gilt nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium, dass auch Deine Ursprungsreihe gleichmäßig konvergiert, und zwar für alle reellwertigen \(\displaystyle  x\) (die Ursprungsreihe erlaubt \(\displaystyle  x=0\), dann konvergiert die Reihe gegen \(\displaystyle  0\). Für \(\displaystyle  x=1\) gegen 1 usw.).


 


Gruß.

geantwortet vor 5 Monate
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1440
 


Vielen dank schonmal. Eine Frage hätte ich aber noch: Woher weiß ich , dass \( \frac{1}{\vert x\vert}\cdot\frac{1}{k^2} \) gleichmäßig konvergiert?
  -   joline, kommentiert vor 5 Monate

Nun, \(\displaystyle \frac{1}{\vert x\vert}\) ist nur eine Konstante und die \(\displaystyle \zeta(\sigma + it)\) gleichmäßig und absolut konvergent (Näheres hier: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/v/zeta/RZF_chap02.pdf) ist. Die Konstante kannst Du dann bei der Abschätzung sowieso rausziehen …   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 4 Wochen
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